Demostrar la singularidad de estado estacionario

Question

Tengo una ecuación de diferencia $$ p_t^{1-\alpha}=\alpha\sigma \left(y-p_t-\frac{(\sigma p_{t-1}^\alpha+b)p_t^{1-\alpha}}{\alpha\sigma} \derecho) $$ donde $\alpha \in [0,1]$ y todo lo demás es $a>0$.

Necesito demostrar que esta ecuación tiene un único estado estacionario.

Esto es lo que he hecho hasta ahora;

Simplificado la expresión de escribir en la forma cerrada de la siguiente manera; $$ p_{t-1}=\left[\frac{\alpha y}{p_{t}^{1-\alpha}}-\alpha p_{t}^{\alpha}-\frac{a+1}{\sigma}\derecho)^{1/\alpha} $$ Sustituido $p_{t-1}=p_t=\overline{p}$ en la forma cerrada, esto dio. $$ \overline{p}^{\alpha}=\alpha y\overline{p}^{\alpha-1}- \alpha\overline{p}^{\alpha}-\frac{a+1}{\sigma} $$ Estoy atascado aquí. Cómo puedo probar que $\overline{p}$ tiene una solución única?

Answer 1

La reorganización del estado estacionario de la ecuación $$ \overline{p}^{\alpha}=\alpha y\overline{p}^{\alpha-1}- \alpha\overline{p}^{\alpha}-\frac{a+1}{\sigma} $$ tenemos $$ (1 + \alpha)\overline{p}^{\alpha}=\alpha y\overline{p}^{\alpha-1}- \frac{a+1}{\sigma}. $$ Como $\alpha \in [0,1]$, el lado izquierdo de la ecuación es el aumento en $\overline{p}$ y el lado derecho es decreciente. Al menos uno de estos es estrictamente monótona debido a que $\alpha$ no puede ser de $0$ y $1$ al mismo tiempo. De ahí en más una solución es posible.