Crear una cartera óptima por Treynor y Jensens Alpha

Question

Me gustaría saber qué fórmula utilizar para optimizar una cartera basada en el mayor Alfa de Treynor y Jensens. Soy consciente de que normalmente se optimiza una cartera por el mayor ratio de Sharpe (la cartera de tangencia) mediante la siguiente fórmula:

$$\textbf{w}_{tan} = \frac{1}{(\boldsymbol{\mu}^e)^\top\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\textbf{1}}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}^e. $$

¿Qué fórmula puedo utilizar para maximizar el Alfa de Treynor o de Jensens, o tengo que crear un problema de maximización?

Answer 1

Esta optimización es trivial

$$ w^{T,J}_i = \begin{cases} 1 \quad \text{if } i=\arg \max_i R^{T,J}(S_i) \\0 \quad \text{otherwise} \end{cases} $$

Es decir, cuando se optimiza sólo un peso será distinto de cero. Esto se debe a que estos coeficientes no incorporan ninguna noción de amplitud distributiva y, por tanto, no recompensan la diversificación.

Al no haber penalización por concentración, simplemente pondrán todo su peso en el activo más "atractivo".

De manera más general, si se toma cualquier atributo cuantitativo $a$ de una acción, y aplicarlo como un todo a la cartera sumándolo sobre toda la colección, se obtiene la exposición

$$ a_\bf{w}=\bf{w}^*\bf{a} $$

Para conseguir una exposición unitaria a este atributo minimizando la varianza, se optimiza (mediante multiplicadores de Lagrange), obteniendo

$$ \bf{w}_a=\frac{\bf{\Sigma}^{-1}\bf{a}}{\bf{a}^*\bf{\Sigma}^{-1}\bf{a}} $$