Marca Joshi, Los conceptos y la práctica de la matemática de las finanzas capítulo 6 ejercicio 4

Question

Vamos a un activo sigue un movimiento Browniano $$dS = \mu dt + \sigma dW$$ con $\mu$ y $\sigma$ constante. La constante de la tasa de interés es de $r$. ¿Qué proceso hace $S$ siga en el riesgo-neutral medida? El desarrollo de una fórmula para el precio de una opción call y por el precio de una opción call.

En el capítulo 6, Marca Joshi estados que $\mu = r$ si y sólo si la población crece a un riesgo-tasa neutral. A continuación, en la solución de Mark Joshi, afirma que desde el $S_t$ crece al mismo ritmo como libres de riesgo de los bonos para su deriva debe ser de $rS_t$.

No veo cómo la deriva debe ser de $rS_t$.

Entonces la solución pasa con $F_t = e^{r(T-t)}S_t$ entonces

$$dF_t = e^{r(T-t)}\sigma dW_t$$

y, a continuación, los estados que

$$F_T\sim F_0 + \overline{\sigma}\sqrt{T}N(0,1)$$

No entiendo de dónde proviene. Estoy teniendo un momento difícil después de su solución. Cualquier sugerencia se agradece enormemente. Me puede proporcionar la solución completa si es necesario.

Answer 1

Bajo el riesgo-neutral medir el descuento (en algunas numéraire) precio de proceso es una martingala. Si tenemos una cuenta bancaria con la dinámica de $dB_t = r B_t dt$ el descuento de activos $X_t = \frac{S_t}{B_t}$ se tiene la dinámica

\begin{ecuación} dX_t = \frac{dS_t}{B_t}- \frac{S_t dB_t}{B_t^2} = (\mu - r S_t) \frac{1}{B_t} dt + \frac{\sigma}{B_t} dW_t \end{ecuación}

Ahora hacemos un ansatz para el riesgo-neutral de la medida $\mathbb{Q}$ se define por $dW_t = dW^\mathbb{Q}_t + \frac{r S_t - \mu}{\sigma}dt$ y ver de que esta hecho transformar el precio de descuento en una martingala

\begin{ecuación} dX_t = \frac{\sigma}{B_t} dW^\mathbb{Q} _t \end{ecuación}

El precio de los activos tienen ahora la dinámica de la

\begin{ecuación} dS_t = rS_t dt + \sigma dW^\mathbb{Q} _t \end{ecuación}

Esta ecuación hace que sea un poco incómodo para calcular la derivada de los precios así que en lugar de utilizar un contrato a futuro en el activo con el mismo vencimiento como los derivados deseamos precio. El precio de un avance con fecha de vencimiento $T$ es $F_{t,T} = e^{r(T-t)} S_t$ por lo tanto

\begin{ecuación} d F_{t,T} = e^{r(T-t)}\sigma dW^\mathbb{Q} _t \end{ecuación}

La integración de $t=0$ a $T$ da \begin{ecuación} F_{T,T} = F_{0,T} + \sigma \int_0^T e^{r(T-t)}dW^\mathbb{Q} _t \end{ecuación}

por lo tanto $F_{T,T} \sim N( F_{0,T} , \sigma^2 \int_0^T e^{2r(T-t)}dt ) $.

Desde $F_{T,T}=S_T$ podemos calcular el precio de cualquier derivado con rentabilidad $g(S_T)$ con $E^\mathbb{Q}[g(F_{T,T})| \mathcal{F}_t]$. Dado que los contratos a plazo se pagan al vencimiento debemos descontar a valor de hoy y obtener el precio en vez de $t$ con $e^{-r(T-t)} E^\mathbb{Q}[g(F_{T,T})| \mathcal{F}_t]$.