La modelización que involucran suma de variables aleatorias: Simple CDF?

Question

Esta pregunta surge a partir de un proyecto en el ámbito microeconómico de modelado.

Tengo $$ n de los agentes de la recepción de ruidosos yo.yo.d señales de $s$.

En mi modelo, una situación de interés se produce cuando el promedio de la señal a través de $n$ los agentes, decir $\bar{s} := (1/n) \sum_{i=1}^n$s, pasa un determinado umbral de $t$.

Me gustaría ser capaz de expresar la probabilidad de que esto suceda, es decir, $P(\bar{s} > t)$, en una forma algebraica sencilla.

Por supuesto, $P(\bar{s} \geq t) = 1 - P(\bar{s} \leq t)$ de modo que la probabilidad de que estoy interesado en es una función simple de la CDF de $\bar{s}$.

Mi problema es que soy incapaz de pensar en una distribución de $s$ , que haría que la CDF de $\bar{s}$ fáciles de jugar y obtener analítico de los resultados de.

Por ejemplo, dejar $s \sim N(0,1)$ me deja con un $P(\bar{s} \leq t)$ dependiendo de la muy torpe función de error (yo sé que es fácil para obtener los resultados de los cálculos basados en $erf(\cdot)$ pero estoy apuntando a la analítica de los resultados aquí). Dejando $s$ ser una de Bernoulli o un Uniforme me deja con la CDF de un Binomio o una Irwin-Hall, que no es mucho más agradable para jugar con...

Cualquier sugerencia en cuanto a lo que yo podría utilizar para la distribución de los $s$?

Los requisitos del bono:

• en otra parte de mi modelo, yo también estoy interesado en $P({s} \geq t)$ sí, por lo que sería de gran ayuda un montón si tanto $s$ y $\bar{s}$ tenían simple Cdf.
• por razones que aún no se acostó a mí mismo, me siento como que voy a ser más feliz, más abajo de la línea si $s$ tiene un continuo y algo distribución simétrica, pero estoy feliz de escuchar acerca de discretos y soluciones asimétricas así.

Answer 1

Así tenemos

$S_n \thicksim^{iid} \ ?$

$\bar{s} = \frac{1}{n}\sum{s_n}$

Exponencial

Supongamos que $S_n$ sigue la distribución exponencial.

$$f(s|\beta) = \frac{1}{\beta} e^{-\frac{s}{\beta}} \quad \quad 0 \leq s < \infty \quad \quad \beta > 0$$

Tome el simple bivariante caso. Decir $Z = \frac{S_1 + S_2}{2}$ y $W = S_1$.

Así $S_2 = 2Z - W$ y $S_1 = W$. El determinante del Jacobiano: $\frac{\partial s_1}{\partial z} \frac{\partial y}{\partial w} - \frac{\partial x}{\partial w} \frac{\partial y}{\partial z} = -2$. El valor absoluto es de$2$.

Así, dada la combinación marginal de $S_1 , S_2$

$$f(S_1, S_2) = \frac{1}{\beta ^2} e^{-\frac{S_1 + S_2}{\beta}}$$

encontramos a continuación el conjunto marginal de $W, Z$, e integrar a cabo $W$ para encontrar la función de densidad para $\frac{S_1 + S_2}{2}$

$$\begin{align} h(W,Z) = & \ f(W, 2Z-W) \cdot 2 \\ = & \ \frac{2}{\beta ^2} e^{-\frac{w+2z-w}{\beta}} \\ = & \ \frac{2}{\beta ^2} e^{-\frac{2z}{\beta}} \\ \end{align}$$

Integrar con respecto a $w$ de $z$ a $0$ obtiene la densidad:

$$f(Z) = \frac{2}{\beta ^2} z e^{-\frac{2z}{\beta}}$$

Luego de hacer un montón de basura de integración por partes (dejar que el comprador tenga cuidado si he cometido un error) para obtener la función de distribución acumulativa evaluado a partir de los $z$ a $0$:

$$\boxed{F(Z) = -\frac{2z + \beta}{2 \beta} e^{-\frac{2z}{\beta}} + \frac{1}{2}}$$

Sustituto $q = -\frac{2z}{2\beta}$ y usted puede hacer este look más tolerable:

$$\boxed{F(Z) = \left(q - \frac{1}{2}\right) e^{-2t} + \frac{1}{2}}$$

Usted puede ahora umm...generalizar el caso de $n$ los agentes de LOL. Puede ser más viable para comparar esto con el CDF de una sola distribución exponencial, entonces tal vez el caso para $n=3$ y ver si usted puede ver un patrón.

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Cauchy :P

Una cosa que me miró de la diversión en línea, tomar una simplificado de distribución de Cauchy:

$$f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}$$

Por la convolución de la fórmula y, a continuación, un montón de trabajo, la densidad de $Z = X + Y$ es:

$$\frac{2}{\pi(4+z^2)}$$

Usted también puede verificar que si desea que la densidad de $Z = \frac{X + Y}{2}$, es la siguiente:

$$f(z) = \frac{1}{\pi(1+z^2)}$$

Es la de Cauchy de nuevo! Ahora, el Cauchy tiene que molestos de la propiedad donde umm...no tiene momentos. Pero estoy bastante seguro de que esta distribución de Cauchy, la densidad es simétrica alrededor de 0. Y técnicamente no se especifica que sus señales tendría media y la varianza, sólo que ellos estaban iid. :)

La cdf de esto termina siendo:

$$F(z) = \frac{\arctan(z)}{\pi} + \frac{1}{2}$$

Así que si el promedio de tres variables o cuatro variables, también da la densidad de Cauchy, usted puede sentirse tan audaz como para su utilización.

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Comentarios Finales

Uhh, si usted está dispuesto discretizar la señal ruidosa (se menciona de Bernoulli), puede intentar utilizar la distribución de Poisson o algo. Si usted está buscando en otra opción continua podrías probar la Beta. Si tengo más tiempo me puede editar esta respuesta con un poco de investigación en uno o el otro.