Ecuación de Slutsky con demanda marshalliana

Question

Tenemos demandas marshallianas para los bienes 1 y 2:

$x_1^* = \frac{I}{2p_1}$ y $x_2^* = \frac{I}{2p_2}$ donde $I$ es el ingreso y $p_i$ es el precio.

Necesitamos resolver la ecuación de Slutsky para el efecto ingreso y el efecto sustitución de la siguiente manera:

$\frac{D (x_i)}{D (p_j)} = \frac{D(H^i(p1, p2, i))}{ D(p_i)} - x_j*\frac{D(x_i^*)}{D(I)}$

Así que en equilibrio la demanda marshalliana es la misma que la demanda compensada.

Resolví el lado izquierdo de la ecuación y obtuve un resultado de $0$.

Luego pasé al efecto ingreso y obtuve el siguiente resultado:

$-\frac{I}{2p_j}*\frac{1}{2p_i} = -\frac{I}{4p_jp_i}$

Sustituyendo los resultados anteriores en la ecuación de Slutsky da un resultado positivo para el efecto sustitución. Pensé que el efecto de sustitución siempre es negativo. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

El primer término en el lado derecho de la ecuación de Slutsky (como lo escribes) debería ser $\frac{\partial h_i(p_i,p_j,I)}{\partial p_j}$, no $\frac{\partial h_i(p_i,p_j,I)}{\partial p_i}$.

Por lo tanto, tu álgebra posterior está bien, pero estás mezclando la sustitución cruzada de precios con la sustitución de precio propio: cuando dejas que $i \neq j$ en la ecuación de Slutsky, el primer término en el lado derecho $\left(\text{de nuevo, }\frac{\partial h_i(p_i,p_j,I)}{\partial p_j}\right)$ mide el efecto de sustitución cruzada de precios de un aumento en el precio de $j$ sobre la demanda (compensada) de $i$. Lo encontraste positivo, por lo que los bienes $i$ y $j$ son sustitutos netos (los parciales de precios cruzados de $h_i$ y $h_j$ no pueden tener signos opuestos, esto se desprende del Lema de Shephard).

Si permites que $i = j$, sin embargo, entonces descubrirás que la ecuación de Slutsky implica que el efecto de sustitución de precio propio es negativo para ambos bienes, lo cual anotas correctamente que debería ser negativo:

$$ \begin{align} \frac{\partial h_i(p_i,I)}{\partial p_i} &= \frac{\partial x_i}{\partial p_i} + x_i \frac{\partial x_i}{\partial I} \\ &= -\frac{I}{2p_i^2} + \frac{I}{2p_i} \left(\frac{1}{2p_i}\right) \\ &= -\frac{I}{4p_i^2} < 0. \end{align} $$