Estimación del límite óptimo de ejercicio para una llamada americana por el método LSM

Question

Estoy tratando de derivar el límite óptimo de ejercicio usando el método LSM y obtuve un resultado extraño. Así que evalué una opción de llamada americana por el método LSM y ahora necesito encontrar la curva óptima de ejercicio.

¿Entiendo correctamente que es necesario hacer lo siguiente: en cada paso de tiempo tengo que resolver la ecuación no lineal ( Valor de continuación que se aproxima por polinomios de base de algún precio desconocido S_opt = S_opt - Strike )? Y los coeficientes de estos polinomios base son el mismo que obtuve anteriormente (mientras regresaba los pagos con descuento cuando estaba evaluando la opción )?

¿Podría por favor darme la señal?

Gracias.

Answer 1

Con $V$ Valor de la opción americana, $H$ valor de retención (aka continuación), y $B$ valor de la cuenta bancaria, tenemos:

$$V_N(S_N) = (K-S_N)^+$$

y para $i$ hacia atrás desde $N-1$ a 0, tenemos:

$$H_i(S_i) = \mathbf{E}\left[B_{i}B_{i+1}^{-1}V_{i+1}(S_{i+1})|S_i\right]$$

$$V_i(S_i) = \max (K-S_i, H_i(S_i))$$

El resultado del algoritmo es $V_0(S_0)$ .

El diferentes funciones de regresión $r_i$ (combinaciones lineales de funciones base) dan las expectativas condicionales necesarias en cada paso $i$ :

$$\mathbf{E}\left[B_{i}B_{i+1}^{-1}V_{i+1}(S_{i+1})|S_i\right] = r_i(S_i)$$

Índice de tiempo de parada óptimo $\eta$ tomando valores en $\{1,..., N \}$ se define como: $$\eta = \min \{k\geq 1 \mid K-S_k \geq r_k(S_k) \} \wedge N$$

Editar: ¿Qué es la límite del ejercicio en el marco probabilístico (Monte Carlo)?

Al resolver el índice de tiempo de parada óptimo $\eta$ anterior, hay que introducir el conjunto de estados de probabilidad $\Omega =\{\omega^1,...,\omega^J\}$ que en el contexto de Montecarlo representa las etiquetas de las variables primitivas del mercado en su totalidad (hasta el final del contrato financiero) trayectorias simuladas, como $\eta$ , como todas las variables aquí, son funciones sobre ella:

$$\eta (\omega^j)= \min \: \{k\geq 1 \mid K-S_k(\omega^j) \geq r_k(S_k(\omega^j)) \} \wedge N$$

El precio subyacente en la trayectoria $\omega_j$ donde uno se detiene es $$S_{\eta{(\omega_j)}} (\omega_j).$$

Si introducimos una nueva variable $\Gamma: \{1,...,n\}\times \Omega \rightarrow \{0,1\}$ definido como:

$$\Gamma (i, \omega) = 1 {\rm \: if \:} i > \eta(\omega),$$

y $0$ en caso contrario, entonces la frontera (topológica) del conjunto $$\Gamma^{-1}(1) = \{(i,\omega) | i > \eta(\omega) \}$$ se llama el límite del ejercicio.

Edición 2: Si te refieres al marco de la EDP, entonces efectivamente la frontera del ejercicio se define como la curva determinista $S^{\rm opt}_k$

$$S^{\rm opt}_k = \inf \: \{x | (K - x)^+ = V_k(x) \}$$

Edit3: Si se utiliza la densidad condicional $\phi_i(y\mid x)$ (transición de $S_i$ a $S_{i+1}$ ) para calcular la expectativa condicional del valor de retención por integración (en lugar de utilizar la función de regresión $r_i$ ), tenemos $$H_i(x) = \mathbf{E}\left[B_{i}B_{i+1}^{-1}V_{i+1}(S_{i+1})|S_i =x\right]$$ $$= B_{i}B_{i+1}^{-1}\int_0^\infty \max (K-x, H_{i+1}(x))\phi_i(y\mid x)dx$$ El cálculo de la integral puede mejorarse si dividimos su dominio de integración en $x^*$ root de la ecuación: $$K-x = H_{i+1}(x)$$