Con $V$ Valor de la opción americana, $H$ valor de retención (aka continuación), y $B$ valor de la cuenta bancaria, tenemos:
$$V_N(S_N) = (K-S_N)^+$$
y para $i$ hacia atrás desde $N-1$ a 0, tenemos:
$$ H_i(S_i) = \mathbf{E}\left[B_{i}B_{i+1}^{-1}V_{i+1}(S_{i+1})|S_i\right]$$
$$ V_i(S_i) = \max (K-S_i, H_i(S_i)) $$
El resultado del algoritmo es $V_0(S_0)$ .
El diferentes funciones de regresión $r_i$ (combinaciones lineales de funciones base) dan las expectativas condicionales necesarias en cada paso $i$ :
$$\mathbf{E}\left[B_{i}B_{i+1}^{-1}V_{i+1}(S_{i+1})|S_i\right] = r_i(S_i)$$
Índice de tiempo de parada óptimo $\eta$ tomando valores en $\{1,..., N \}$ se define como: $$ \eta = \min \{k\geq 1 \mid K-S_k \geq r_k(S_k) \} \wedge N$$
Editar: ¿Qué es la límite del ejercicio en el marco probabilístico (Monte Carlo)?
Al resolver el índice de tiempo de parada óptimo $\eta$ anterior, hay que introducir el conjunto de estados de probabilidad $\Omega =\{\omega^1,...,\omega^J\}$ que en el contexto de Montecarlo representa las etiquetas de las variables primitivas del mercado en su totalidad (hasta el final del contrato financiero) trayectorias simuladas, como $\eta$ , como todas las variables aquí, son funciones sobre ella:
$$ \eta (\omega^j)= \min \: \{k\geq 1 \mid K-S_k(\omega^j) \geq r_k(S_k(\omega^j)) \} \wedge N$$
El precio subyacente en la trayectoria $\omega_j$ donde uno se detiene es $$ S_{\eta{(\omega_j)}} (\omega_j).$$
Si introducimos una nueva variable $\Gamma: \{1,...,n\}\times \Omega \rightarrow \{0,1\}$ definido como:
$$ \Gamma (i, \omega) = 1 {\rm \: if \:} i > \eta(\omega), $$
y $0$ en caso contrario, entonces la frontera (topológica) del conjunto $$\Gamma^{-1}(1) = \{(i,\omega) | i > \eta(\omega) \} $$ se llama el límite del ejercicio.
Edición 2: Si te refieres al marco de la EDP, entonces efectivamente la frontera del ejercicio se define como la curva determinista $S^{\rm opt}_k$
$$ S^{\rm opt}_k = \inf \: \{x | (K - x)^+ = V_k(x) \} $$
Edit3: Si se utiliza la densidad condicional $\phi_i(y\mid x)$ (transición de $S_i$ a $S_{i+1}$ ) para calcular la expectativa condicional del valor de retención por integración (en lugar de utilizar la función de regresión $r_i$ ), tenemos $$ H_i(x) = \mathbf{E}\left[B_{i}B_{i+1}^{-1}V_{i+1}(S_{i+1})|S_i =x\right]$$ $$ = B_{i}B_{i+1}^{-1}\int_0^\infty \max (K-x, H_{i+1}(x))\phi_i(y\mid x)dx $$ El cálculo de la integral puede mejorarse si dividimos su dominio de integración en $x^*$ root de la ecuación: $$ K-x = H_{i+1}(x)$$
