Precio del bono bajo el modelo poissoniano de tasa de interés

Question

Trabajando en un ejercicio de modelado de tasas de interés y tengo la siguiente configuración: $r_t = r_0 + \delta N_t$ donde $\delta > 0$ y $\lambda > 0$ es la intensidad del proceso de Poisson $N_t$. Quiero calcular el precio del bono en el tiempo $0$, que se da por la fórmula $$ B(0,T) = \mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left( e^{-\int_0^T r_u \,du}\right) = e^{-r_0T}\mathbb{E}_{\mathbb{P}^*}\left( e^{-\delta \int_0^T N_u\,du}\right). $$ donde $\mathbb{P}^*$ es la medida de probabilidad neutra al riesgo. No he estado trabajando con procesos de Poisson últimamente y no estoy seguro si hay una transformación simple o el uso de funciones generadoras de momentos para obtener la segunda integral/expectativa utilizando propiedades del proceso de Poisson. ¡He intentado encontrar recursos en línea pero sin éxito! ¡Cualquier ayuda es apreciada. Gracias!

Answer 1

Permitamos que $$Y_t = \int_0^t N_u du$$

donde $(N_t)_{t \geq 0}$ representa un proceso de Poisson con intensidad $\lambda$.

Usando el teorema de Fubini estocástico tenemos: \begin{align} Y_T &= \int_0^T N_t dt \\ &= \int_0^T \int_0^t dN_u dt \\ &\color{lightgray}{= \int_0^T \int_0^T \mathbf{1}\{u \in [0,t]\} dN_u\ dt} \\ &\color{lightgray}{= \int_0^T \int_0^T \mathbf{1}\{u \in [0,t]\} dt\ dN_u} \\ &\color{lightgray}{= \int_0^T \int_0^T \mathbf{1}\{t \in [u,T]\} dt dN_u} \\ &= \int_0^T \int_u^T dt dN_u \\ &= \int_0^T (T-u) dN_u \\ &= \sum_{i=1}^{N_T} (T-T_i) \tag{0} \end{align} donde $T_i$ representa el tiempo de salto del proceso de Poisson $i^{th}$, que tiene una distribución Gamma con parámetro entero $i$ (también conocida como distribución Erlang ve aquí Proposición 15.2 por ejemplo). Los tiempos de salto $T_i$ no son i.i.d. incondicionalmente y $Y_t$ no puede considerarse como un proceso de Poisson compuesto usual.

¡Pero, la condicionante ayuda! De hecho, condicionalmente al número de saltos $N_T = n$, se puede demostrar que los $n$ tiempos de salto $\{T_i\}_{i=1}^n$ son realmente independientes e idénticamente distribuidos uniformemente en $[0,T]$ (ver referencia aquí parte superior de la página 443), es decir \begin{align} T_i\ \vert\ N_T=n \ \ &\sim\ \ T U_i\\ \{U_i\}_{i=1}^n \ &\sim\ \ \mathcal{U}[0,1] \ \ \text{i.i.d.} \end{align}

Entonces tenemos: \begin{align} \mathbb{E} \left[e^{-\delta Y_T} \vert \mathcal{F}_0 \right] &= \mathbb{E} \left[ \left. \exp\left(-\delta \sum_{i=1}^{N_T} (T-T_i)\right) \right\vert \mathcal{F}_0 \right] \tag{1} \\ &= \mathbb{E} \left[ \left. \mathbb{E} \left[ \left. \exp\left(-\delta \sum_{i=1}^{N_T} (T-T_i)\right) \right\vert \mathcal{F}_T \right] \right\vert \mathcal{F}_0 \right] \tag{2} \\ &= \mathbb{E} \left[ \left. \mathbb{E} \left[ \left. \exp\left(-\delta T \sum_{i=1}^{N_T} (1-U_i) \right) \right\vert \mathcal{F}_T \right] \right\vert \mathcal{F}_0 \right] \tag{3} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \mathbb{E} \left[ \exp\left(-\delta T \sum_{i=1}^{n} \tilde{U}_i \right) \right] \mathbb{P}^*\left( N_T = n \right) \tag{4}\\ &= e^{-\lambda T} \sum_{n=0}^\infty \frac{(\lambda T)^n}{n!} \mathbb{E} \left[ \exp\left(-\delta T \sum_{i=1}^{n} \tilde{U}_i \right) \right] \tag{5} \\ &= e^{-\lambda T} \sum_{n=0}^\infty \frac{(\lambda T)^n}{n!} \prod_{i=1}^n \mathbb{E} \left[ \exp\left(-\delta T \tilde{U}_i \right) \right] \tag{6} \\ &= e^{-\lambda T} \sum_{n=0}^\infty \frac{(\lambda T)^n}{n!} \left(\mathbb{E} \left[ \exp\left(-\delta T \tilde{U}_1 \right) \right]\right)^n \tag{7} \\ &= \exp(-\lambda T) \exp\left(\lambda T \mathbb{E} \left[ \exp\left(-\delta T \tilde{U}_1 \right) \right] \right) \tag{8} \\ &= \exp\left(\lambda T \left(\mathbb{E} \left[ \exp\left(-\delta T \tilde{U}_1 \right) \right] - 1 \right) \right) \tag{9} \end{align} donde $\tilde{U}_i = 1-U_i$ también son i.i.d. $\mathcal{U}[0,1]$ por construcción y utilizamos:

1. Def. de $Y_T \vert \mathcal{F}_0 = \int_0^T N_u du = \sum_{i=1}^{N_T} (T-T_i)$ ver $(0)$
2. Propiedad de la torre de la expectativa condicional
3. Condicionalmente a $N_T$ los tiempos de salto de Poisson son i.i.d. $\mathcal{U}[0,T]$
4. Expectativa sobre $N_T \vert \mathcal{F}_0$
5. Def. del Proceso de Poisson $(N_t)_{t \geq 0}$
6. Propiedades de $\exp(.)$ + $\{\tilde{U}_i\}_{i=1}^n$ independientes
7. $\{\tilde{U}_i\}_{i=1}^n$ idénticamente distribuidos
8. Expansión en series de $\exp(.)$
9. Propiedades de $\exp(.)$

Ahora todo lo que necesitas hacer es calcular $Z = \mathbb{E}[\exp\left(-\delta T U \right)]$ con $U \sim \mathcal{U}[0,1]$:

\begin{align} Z &= \mathbb{E}[\exp\left(-\delta T U \right)] \\ &= \int_{0}^1 \exp\left(-\delta T u \right) \underbrace{p^*(u)}_{\mathbf{1}\{u \in [0,1]\}} du \\ &= \left[ \frac{\exp\left(-\delta T u \right)}{-\delta T} \right]_0^1 \\ &= \frac{1 - e^{-\delta T}}{\delta T} \end{align}

Luego podrás escribir: $$ e^{-r_0T}\mathbb{E}^{\mathbb{P}^*}\left[ e^{-\delta \int_0^T N_u\,du} \vert \mathcal{F}_0 \right] = \exp\left(-r_0T + \lambda T\left(\frac{1 - e^{-\delta T}}{\delta T}-1\right)\right) $$