Algunas confusiones sobre la variable instrumental (econometría)

Question

Como dice el título, tengo algunas confusiones sobre la variable instrumental.

Según mi nota de clase (que se supone que es fiable), la variable instrumental tiene dos grandes propiedades:

1. Validez: una variable instrumental y el término de error no están correlacionados e implica que la variable instrumental no conduce directamente a cambios en la variable dependiente.

2. Relevancia: una variable instrumental y una variable endógena están correlacionadas.

Así que aquí está mi confusión. (Denotemos que z es una variable instrumental)

Las variables endógenas están correlacionadas con los términos de error y z está correlacionada con la variable endógena.

¿No implica esto que z está correlacionado con los términos de error? Si es así, viola la Validez (mencionada anteriormente).

En caso de que mi pregunta no sea lo suficientemente clara. Este es el caso en el que estoy atascado: $$ score_i = \beta_0 + \beta_1 course_i + u_i $$ donde $course_i$ es una variable binaria de tomar un curso preparatorio y $u_i$ es un término de error.

Es evidente, $course_i$ está correlacionada con $u_i$ ya que la renta de los padres es una de las variables no observadas (por lo que en $u_i$ ) y $course_i$ y los ingresos de los padres están correlacionados (creo que esto también es bastante obvio).

Hasta ahora sabemos que los ingresos de los padres (creo que es una variable instrumental) están correlacionados con $course_i$ . Pero como los ingresos de los padres pertenecían al término de error, viola la Validez.

Cualquier ayuda es bienvenida.

Answer 1

Las variables endógenas están correlacionadas con los términos de error y z es correlacionada con la variable endógena.

¿No implica esto que z está correlacionado con los términos de error?

No es así. Para las variables centradas en la media para simplificar, tenemos para los modelos lineales,

ENDOGENEIDAD : $E(xu) \neq 0$

RELEVANCIA : $E(xz) \neq 0$

Las condiciones anteriores sí no implican necesariamente no -Validez ( $E(zu) \neq 0$ ).

A ejemplo muy sencillo para demostrar que podemos tener un instrumento válido. Supongamos que $x, u$ se centran en su media, $E(x) = E(u) = 0$ y que $x$ tiene una distribución simétrica, $E(x^3) = 0$ . Supongamos que $E(u \mid x) = ax$ . Entonces

ENDOGENEIDAD

$$E(xu) = E\big[E(xu\mid x)\big] = E\big[xE(u\mid x)\big] = aE(x^2) \neq 0.$$

Considere el instrumento candidato $z = x^2 + v$ con $v$ independiente de $u$ pero $E(xv) \neq 0$ . Tenemos

RELEVANCIA $$E(xz) = E(x^3) + E(xv) = 0 + E(xv) \neq 0$$ .

VALIDEZ

$$E(zu) = E(x^2u) + E(vu) = E\big[E(x^2u\mid x)\big] + E(v)E(u)$$

$$= E\big[x^2E(u\mid x)\big] + 0 = E\big[x^2a x\big] = aE(x^3) = 0.$$

Answer 2

Además de la excelente respuesta de @Alecos Papadopoulos, he aquí dos sencillos ejemplos numéricos con $z=x^2+v$ , $z^*$ está centrado en la media $z$ y $v$ es independiente de $u$ en el que $E(xu)\neq 0$ , $E(xz^*)\neq 0$ pero $E(z^*u)=0$ .

Ejemplo 1 (con $x$ con una distribución simétrica)

$E(xu)=1.5$ , $E(xz^*)=-0.5$ , $E(z^*u)=0$

El ejemplo 2 (que muestra que la distribución de $x$ no tiene por qué ser simétrico)

$E(xu)=2$ , $E(xz^*)=-3$ , $E(z^*u)=0$