Grados de libertad en el cálculo de la significación de los coeficientes GARCH

Question

Estoy tratando de determinar la significación de los coeficientes de un modelo GARCH mediante el cálculo de los valores p utilizando la siguiente fórmula de Matlab:

pvalues = 2*(1-tcdf(abs(t),n-v)),

donde $t$ es la t-stat, $n$ el número de observaciones y $v$ los grados de libertad. ¿Debo utilizar $v=2$ como el número de grados de libertad o depende del número de parámetros a estimar, como en la regresión lineal?

Answer 1

Antes de empezar a preguntar por el número de dof, ¿cómo sabes que la distribución muestral finita de los parámetros es student-t? No creo que lo sea. En regresión lineal son student-t debido a la linealidad y bajo suposición para la distribución residual.

En Garch se puede decir simplemente que si se estima utilizando la máxima verosimilitud entonces asintóticamente (no muestra finita) las distribuciones de los parámetros son gaussianas, con varianza proporcional a la inversa de la Hessiana de la función log-lik.

Si se sigue ese camino, hay que resistirse al atajo de utilizar el hessiano que arroja el optimizador. Además, hay que recordar que los p-valores en este contexto son posiblemente cantidades sin sentido en primer lugar (como la ASA admitió recientemente).

Answer 2

$v$ debe ser el número total de parámetros (constantes + AR + MA + GARCH + ARCH).

No estoy de acuerdo con @kiwiakos, se utiliza la distribución t(df) de student porque estamos utilizando errores estándar que son estimaciones de desviaciones típicas (y no desviaciones típicas verdaderas) para calcular la estadística. Esta es la razón por la que utilizamos la prueba t de student aunque la distribución asintótica de los parámetros sea gaussiana.

La fórmula para el valor p es entonces :

Ejemplo :

Coeff = 0,15

Error estándar = 0,064 (o errores estándar robustos)

El estadístico t es: 0,15/ 0,064 = 2,3438 (no es un estadístico p porque utilizamos el error estándar).

t-prob = p-valor = 2*(1-tcdf( | 2.3438 | ,n-v)) ( p-valor con una dist de student y no p-valor con una dist normal !)

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EDITAR

Esto no es específico de los parámetros GARCH, sino de la teoría de las pruebas estadísticas.

La idea principal :

Debemos utilizar la prueba z sólo si no hay uncert varianza de la población. Sin embargo, rara vez es así, por lo que el valor p se obtiene utilizando la distribución t de Student. Si el tamaño de la muestra es suficientemente grande, puede utilizarse la distribución normal (es decir, la prueba z).

Sea X una variable aleatoria gaussiana, y sea $\bar{X}$ sea la media muestral.

La estadística estandarizada z se distribuye normalmente ( véase el teorema del límite central) y viene dada por:

$z = (\bar{x} - m_{0} )/ \sigma_{\bar{X}} $

donde $\sigma_{\bar{X}} $ es la desviación típica de la media muestral. Podemos calcular esta desviación típica basándonos en la población desviación $\sigma_{X}^{2}$ y viene dado por : \begin{equation*}\begin{aligned} \sigma_{\bar{X}}^{2} &=& var\{\dfrac{1}{n}(X_{1}+\ldots + X_{n})\}\\ &=&\dfrac{1}{n^2} var\{( X_{1}+\ldots + X_{n} )\}\\ &=&\dfrac{1}{n^2} (\sigma_{X}^{2}+ \ldots+ \sigma_{X}^{2})\\ &=&\dfrac{1}{n^2} (n\sigma_{X}^{2})\\ &=& \frac{\sigma_{X}^{2}}{n} \end{aligned}\end{equation*}

Sin embargo, como no conocemos el población desviación $\sigma^{2}_{X} $ necesitamos emplear una estimación para ello y esto introduce algunas incertidumbre . Para aproximar la varianza de la población $\sigma_{X}^{2}$ (generalmente) empleamos el muestra varianza dada por :

\begin{equation*} s_{X}^{2}=\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2} \end{equation*}

A continuación, la varianza de la media muestral se aproxima de la siguiente manera :

$\widehat{ \sigma^{2}_{\bar{X}}} = \frac{s_{X}^{2} }{ n}$

(en lugar de $ \frac{\sigma_{X}^{2}}{n}$ )

Así que el errores normativos (que tiene en cuenta esta incertidumbre) son :

$ se = \sqrt{\widehat{ \sigma^{2}_{\bar{X}}} } = \frac{s_{X} }{\sqrt{n}}$

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la prueba z se modifica de la siguiente manera:

$z = \frac{ \bar{x} - m_{0} }{ \sigma_{\bar{X}} } $

se convierte en :

$t = \frac{ \bar{x} - m_{0} }{ se } $

y $t$ tendrá una distribución t student con (n-número de parámetros) grados de libertad (véase aquí ).

El hecho de que empleemos los errores estándar en lugar de la desviación estándar hace que la prueba Z sea una prueba T . Cuando utilizamos el método MLE, es lo mismo, podemos sustituir X por los parámetros estimados (que son variables aleatorias asintóticamente gaussianas). No empleamos sus verdaderas desviaciones típicas, sino una estimación de las mismas. El hessiano nos da los errores estándar, no las desviaciones estándar (porque hay incertidumbre - no observamos la población sino una muestra). Así que deberíamos emplear el $t$ prueba.

Tenga en cuenta que, cuando $n$ (el número de observaciones) aumenta, la distribución t de Student se acerca más a la distribución normal y, por tanto, los valores p obtenidos con la distribución normal o con la distribución t de Student serán iguales (véase el comentario de @John). Esto es lógico porque la incertidumbre disminuye a medida que aumenta el número de observaciones.