Demostrar que un mercado es libre de arbitraje

Question

La pregunta se basa en un modelo del período. Vamos a un mercado libre de arbitraje, y, a continuación, deje de seguridad $X$ se añade a la misma. Denotar $P(X)$ como el precio de este cuerpo de seguridad en $t=0$. La seguridad tiene la propiedad de que:

$$A=\text{inf}\{E(\phi X)|E(\phi X)<\infty,\phi \en \Phi\}$$ $$B=\text{sup}\{E(\phi X)|E(\phi X)<\infty,\phi \en \Phi\}$$

$A<B$, $P(X)\in (a,B)$. Donde $\Phi$ es el conjunto de espacio de estado deflactores. Quiero mostrar que el mercado es libre de arbitraje.

Consejos sobre cómo probar este resultado? Y lo que es $E(X)$ , incluso se supone que significa eso aquí? Supongo que es la expectativa de que el precio en el período 1?

Intento ($Q$ denota la cantidad de seguridad específicos. $S(t)$ el precio en $t$):

Deje que el valor de una cartera: $\sum^n_{i=1}Q_i S_i(0)=P(X)=E(\phi X)$

Por lo tanto, no existe un deflactores $\phi_1,\phi_2$:

$$E(X\phi_1)\leq\sum^n_{i=1}Q_iE(\phi_1 S_i(0))=E(\phi X)=\sum^n_{i=1}Q_iE(\phi_2 S_i(0))\leq E(X\phi_2)$$

Supongamos ahora que en cada caso:

$$\sum^n_{i=1}Q_i S_i(1)\geq X$$

Y hay una posibilidad: $$\sum^n_{i=1}Q_i S_i(1)> X$$

Esto es imposible por que el anterior, pero la mejor manera de mostrarlo?

Answer 1

Se trataría de la comparación de la rentabilidad y el precio de la seguridad de X para los precios y las rentabilidades de todos los valores que están en el mercado ahora. Ignorando la diferencia entre fuertes y débiles de arbitraje para facilitar la exposición: El precio de este cuerpo de seguridad X debe ser mayor que el precio de todos los valores cuyos rendimientos son inferiores a la rentabilidad de esta seguridad y debe ser inferior a los precios de todos los valores cuyos rendimientos son más altos. Puede configurar dos lineal de los problemas del programa para establecer el arbitraje libre de rango de precios: límites inferior y superior (a y B en su caso).

El problema anterior es una variación de la anterior, pero se expresa en términos del estado deflactores de precios/densidad. Esencialmente, si el mercado no es completa, entonces habría muchos deflactores de precios (lo mismo que el precio de los límites en el primer párrafo). Si uno sabe que todos estos deflactores, entonces uno puede encontrar la que te da el precio min y la que da el precio máximo. Los precios correspondientes son los límites inferior y superior. Si el precio de la seguridad se encuentra en el rango, entonces no hay arbitraje.

¿Por qué es eso así? Es porque $ A<B $ implica que la seguridad de X no es redundante (de lo contrario, a y B deben ser iguales). Sabemos los precios y las rentabilidades de los valores existentes (cuando usted dice que el mercado es libre de arbitraje), pero sabemos que sólo la rentabilidad de X. Entonces, cuál es el precio que debemos asignar a X. a partir De la conocida precios de mercado sólo podemos inferir un rango de precios para este tipo de seguridad como hemos múltiples deflactores y no sabemos cual será el mercado el precio de este activo (si el mercado se completa, entonces no habría ninguna ambigüedad). Por ello, no podemos construir un arbitraje de la cartera si el precio de X se encuentra dentro de estos límites. Si construimos el arbitraje de la cartera utilizando el deflactor asociada con Una, entonces se trataría de la compra en Una y la venta en P (comprar barato vender caro), pero si el verdadero deflactor resultó ser B, entonces el arbitraje de la cartera tomará una pérdida en lugar de un beneficio. Usted podría preguntarse por qué acabamos de probar que el mercado de la seguridad para obtener una comilla? Una pregunta válida, pero, a continuación, este problema no existiría como entonces tendríamos un único deflactor (¡ojalá!) y A=P=B.

Volver a tu otra pregunta: $E[ \phi X]$ significa que el valor esperado de la pérdida de rentabilidad en virtud de la probabilidad asociada con cada uno de los deflactor, lo mismo que el precio.

Espero que esto ayude.