Modelo CIR - generación de enésimo momento $E^*[r_T^n]$

Question

Estoy analizando el proceso de generación del enésimo momento para $r_t$ con una dinámica definida por el modelo CIR

$r_t$ tiene la siguiente dinámica $$dr_t=a(b-r_t)dt+\sigma \sqrt{r_t} dW_t^* \quad \quad (1)$$ para algunas constantes $ab>\frac{\sigma^2}{2} \quad$

Siendo T una fecha fija y $f_{\lambda}$ una función definida para alguna constante $\lambda >0$ se da $$f_{\lambda}(t,r)=E^*[e^{-\lambda {r_{T}}}|r_t=r] \quad \quad (2)$$

Quiero generar los primeros cuatro momentos. El manual de soluciones sugiere utilizar la siguiente función

$$ E^*[r_T^n]=(-1)^n \ E^* \big{[} \ \frac{d^n}{d \lambda^n}e^{-\lambda r_t}\big{|}_{\lambda=0} \ \big{]}$$ $$=(-1)^n \ \frac{d^n}{d \lambda^n}e^{-\lambda r_t}\big{|}_{\lambda=0} \ \quad \quad (3)$$

Entiendo la idea general de utilizar el MGF para derivar los momentos de una función. De forma estándar se calcula como $$ M_t = E[e^{tX}]=\int e^{tx} \ f(x) dx \quad \quad (4)$$ y luego $$ M_t^{(n)}(0) \quad \quad (5)$$ daría el momento n-ésimo.

Estoy confundido aquí con un par de cosas. Primero el hecho de que $f_{\lambda}$ se parece ya a la función generadora de momentos, por lo que en este caso se multiplica por qué.
En segundo lugar, no entiendo cómo se creó la función sugerida (3). El $-\lambda$ utilizado en (3) me confunde. No hay ningún signo negativo en la función estándar de generación de momentos.
Por último, los pasos de los cálculos que utilizan esta función no están claros para mí. ¿Son las derivadas de $r_t$ tomado directamente o sólo de la función $e^{-\lambda}r_t$ donde se sustituye el r_r.

¿Puede alguien aclararlo, por favor?

Hay los dos primeros momentos de la $r_t$ Debería conseguir $$E^*[r_T^1]=b(1-e^{-at})+e^{-at}r_0 $$ $$E^*[r_T^2]=e^{-2aT}[(b(1-e^{-at})+e^{-at}r_0)^2]+\frac{e^{-2aT}}{2a}[(e^{aT}-1)(b(e^{aT}-1)+2r_0)\sigma^2] $$

Answer 1

Su problema proviene probablemente de las notaciones utilizadas.

Que el Función generadora de momentos (MGF) de una variable aleatoria $X$ definirse como $$ M_X(u) := E[e^{uX}] $$ De esta definición se desprende que $$ E(X^n) = M_X^{(n)}(u=0) = \frac{d^{n} M_X}{ d u^{n}}(u=0) $$

Sabiendo esto, la función $$ f_{\lambda}(t,r)=E[e^{-\lambda {r_{T}}}|r_t=r] $$ puede interpretarse como el MGF $M_{X}(\lambda)$ de la variable aleatoria $X = (-r_T \vert\ r_t = r)$ (nótese el menos, y el condicionamiento).

Aplicando las definiciones, tenemos entonces que \begin{align} E[(-r_T)^n \vert r_t=r] &= \frac{d^{n} M_X}{ d \lambda^{n}}(\lambda=0) \\ &= \left. \frac{d^{n} f_{\lambda}(t,r)}{ d \lambda^{n}} \right\vert_{\lambda=0} \end{align}

Ahora, notando que $$ (-r_T)^n = (-1)^n\ r_T^n $$ y que multiplicar o dividir una cantidad por $(-1)^n$ (determinista) es estrictamente equivalente $\forall n\in\mathbb{N}$ da su solución manual $$ E[r_T^n \vert r_t=r] = (-1)^n \left. \frac{d^{n} f_{\lambda}(t,r)}{ d \lambda^{n}} \right\vert_{\lambda=0} $$

¿Y cómo se usa eso? Simplemente tome el $n$ -derivada de la función $f$ con respecto a $\lambda$ evalúen para $\lambda=0$ y cambiar de signo si $n$ es impar para obtener el momento bruto de orden $n$ .

Tenga en cuenta que el MGF le da momentos crudos no momentos centrados . Para los momentos centrados se necesita algo de álgebra adicional. Por ejemplo, para el segundo momento centrado ( $n=2$ ), podríamos escribir: $$ E[(X-E(X))^2] = E(X^2) - E(X)^2 = \mu_2 - \mu_1^2 $$ donde $\mu_i$ , $i=1,2$ son los momentos brutos de orden $i$ obtenida mediante el FGM, tal y como se ha explicado anteriormente.