EDIT: he cambiado la respuesta a tenerlo más en el tema.
Resumen
Se reduce a una Marca Joshi's respuesta. Quería añadir algo más.
Respuesta
Una medida de probabilidad $T1$ y un numeraire $N1(t)$ son asociados si todos los precios se expresan en relación a $N1$ son martingales por debajo de los $T1$:
$$\frac{precio(t)}{N1(t)} = \mathbb{E}^{P1} \left[ \a la izquierda. \frac{precio(T)}{N1(T)} \, \right| \, F_t\derecho] \quad \Rightarrow \quad precio(t) = \mathbb{E}^{P1} \left[ \a la izquierda. \frac{N1(t) \cdot precio(T)}{N1(T)} \, \right| \, F_t \derecho] $$
Tener a otro de la probabilidad de la medida $T2$ con asociados numeraire $N2(t)$, entonces usted puede cambiar el numeraire:
$$
\begin{array}{ccl}
precio(t) & = & \mathbb{E}^{P1} \left[ \a la izquierda. \frac{N1(t) \cdot precio(T)}{N1(T)} \, \right| \, F_t \derecho] = N1(t) \cdot \mathbb{E}^{P1} \left[ \a la izquierda. \frac{precio(T)}{N1(T)} \, \right| \, F_t \derecho] \\
& = & \mathbb{E}^{P2} \left[ \a la izquierda. \frac{N2(t) \cdot precio(T)}{N2(T)} \, \right| \, F_t \derecho] = N2(t) \cdot \mathbb{E}^{P2} \left[ \a la izquierda. \frac{precio(T)}{N2(T)} \, \right| \, F_t \derecho]
\end{array}
$$
La información dada en el tiempo $t$, que son capaces de llevar a cabo tanto numeraires al mismo tiempo, ya que son conocidos.
Si establece
$T1$ igual a la neutrales al riesgo probabilidad de medida $QRN$ y $N1(t)$ igual a la libre de riesgo de los activos, es decir, $N1(t) = B(t) = e^{\int_0^t r(s) ds}$
$T2$ igual a la T-adelante probabilidad de medida $QT$ y $N2(t)$ igual a cero cupón del precio del bono con vencimiento $T$ calculada en $t$, es decir $N2(t) = P(t,T)$
a continuación, se tienen los siguientes:
$$
\begin{array}{ccl}
precio(t) & = & \mathbb{E}^{QRN} \left[ \a la izquierda. \frac{B(t) \cdot precio(T)}{B(T)} \, \right| \, F_t \derecho] = B(t) \cdot \mathbb{E}^{QRN} \left[ \a la izquierda. \frac{precio(T)}{B(T)} \, \right| \, F_t \derecho] \\
& = & \mathbb{E}^{QT} \left[ \a la izquierda. \frac{P(t, T) \cdot precio(T)}{P(T, T)} \, \right| \, F_t \derecho] = P(t, T) \cdot \mathbb{E}^{QT} \left[ \a la izquierda. \frac{precio(T)}{P(T, T)} \, \right| \, F_t \derecho] \\
\end{array}
$$
El problema en el marco de la riesgo-neutral medida, es que $B(T)$ y $precio(T)$ no son independientes, especialmente para los derivados de tasas de interés. Sin embargo, $P(T,T)$ es perfectamente conocido: es sólo $1$.
$$
precio(t) = P(t, T) \cdot \mathbb{E}^{QT} \left[ \a la izquierda. \frac{precio(T)}{P(T, T)} \, \right| \, F_t \derecho] = P(t, T) \cdot \mathbb{E}^{QT} \left[ \a la izquierda. precio(T) \, \right| \, F_t \derecho]
$$
Así que con el cambio de numeraire usted simplificado mucho la computación, esto es lo que usted consigue.
En general, el cambio de numeraire es útil principalmente por dos razones ($X_t$ es un proceso y $N_t$ es el numeraire):
$X_t = \frac{negociables activo}{N_t}$ es una martingala bajo la nueva medida, es decir, que no fueron capaces de demostrar directamente $X_t$'s martingality pero bajo la nueva medida con la nueva numeraire.
$\frac{X_t}{N_t}$ se convierte en un sistema muy fácil de cantidad a calcular; este es el caso de la T-forward medida en la tasa LIBOR, el modelo de mercado, dado que la expectativa de descuento en pago en el riesgo-neutral mundo se convierte en un determinista factor de descuento veces la expectativa de hoy de la rentabilidad.
Debo agregar que un teorema garantiza que todos los resultados son iguales: si existe una medida de probabilidad asociada a un numeraire y todos los activos expresados en virtud de esta medida son martingales, cualquier otro (el comercio) activo puede ser utilizado como numeraire y cualquier numeraire elección tendrá el mismo precio.
