Digamos que tengo retornos por hora $r_1,r_2,...,r_T$, donde $r_t$ = $ln(p_t)$ - $ln(p_0)$ para $t = 1...T$. Entonces, ¿cuál es el valor de $E[r_t]$? ¿Sería $r_T$ el $\prod{(r_t)}$?
Básicamente, los $r_t$ son los retornos con respecto a un punto fijo $t_0$. Entonces, mi pregunta es ¿cómo puedo demostrar matemáticamente que el $E[r_t]$ es $r_T$ o no lo es?
Parece que tu verdadera pregunta es: ¿es el proceso de formación de precios (PFP) difusivo desde la tasa de muestreo intradía hasta la semanal?
Es una muy buena pregunta, ya que en intradía, algunos académicos encontraron algunas características multifractales en los rendimientos intradía, lo que significa que el PFP no es una Movimiento Browniano Geométrico en escalas pequeñas (incluso considerando volatilidad estocástica).
Tienes por ejemplo modelizaciones exitosas del PFP utilizando procesos de puntos, y especialmente los de Hawkes (que no son difusivos e incluso no son Markovianos): Modeling microstructure noise with mutually exciting point processes por: E. Bacry, S. Delattre, M. Hoffmann, J. F. Muzy (próximamente en Quant. Finance). Obtuvieron alguna fórmula para expresar características del límite difusivo de tales procesos con respecto a los del proceso subyacente de Hawkes, como la volatilidad difusiva a gran escala: $$\sigma=\frac{2\mu}{1-||\phi||_1}\,\frac{1}{(1+||\phi||_1)^2}$$ (con $\phi$ el núcleo del proceso de Hawkes vinculando su intensidad estocástica con sus realizaciones y $\mu$ es la parte determinista de su intensidad).
Pero también enfoques multifractales más "clásicos": Modelling fluctuations of financial time series: from cascade process to stochastic volatility model por: J. F. Muzy, J. Delour, E. Bacry en Euro. Phys. Journal B, Vol. 17 (2000), pp. 537-548. En tales casos, un clásico "exponente de Hurst" permite hacer zoom.
¿No es esta una regla matemática simple?
$$\Delta r_{t}=r_{t} - r_{t-1} = ln(p_{t}) - ln(p_{0}) - ln(p_{t-1}) + ln(p_{0})=ln(\frac{p_{t}}{p_{t-1}})$$ es decir, el rendimiento logarítmico o continuamente compuesto. Como resultado: $$E(\Delta r_{t})=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}\Delta r_{t} = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}ln(\frac{p_{t}}{p_{t-1}})=\frac{1}{T}ln(\prod_{t=1}^{T}\frac{p_{t}}{p_{t-1}})=\frac{1}{T}ln(\frac{p_{T}}{p_{0}})=\frac{1}{T}r_{T}$$
es la expectativa por hora.
O bien $$\frac{p_{T}}{p_{0}}\frac{p_{T-1}}{p_{0}}...\frac{p_{2}}{p_{0}}\frac{p_{1}}{p_{0}}=(\frac{p_{T}}{p_{0}})(\frac{p_{T-1}}{p_{0}}...\frac{p_{2}}{p_{0}}\frac{p_{1}}{p_{0}})$$ y $$ln[\frac{p_{T}}{p_{0}}\frac{p_{T-1}}{p_{0}}...\frac{p_{2}}{p_{0}}\frac{p_{1}}{p_{0}}]= ln(\frac{p_{T}}{p_{0}}) + ln[\frac{p_{T-1}}{p_{0}}...\frac{p_{2}}{p_{0}}\frac{p_{1}}{p_{0}}]$$ o $$ln[\frac{p_{T}}{p_{0}}\frac{p_{T-1}}{p_{0}}...\frac{p_{2}}{p_{0}}\frac{p_{1}}{p_{0}}] - ln[\frac{p_{T-1}}{p_{0}}...\frac{p_{2}}{p_{0}}\frac{p_{1}}{p_{0}}]= ln(\frac{p_{T}}{p_{0}})$$ y si asumimos convergencia $$T\cdot E(r_{t}) - (T-1)\cdot E(r_{t})\approx r_{T}$$
La última línea de tu publicación me preocupa. ¿Qué pasa si mis retornos son $X$ bps para cada una de las cinco horas, y luego 0 bps para la sexta hora? La expectativa es ligeramente inferior a $X$, pero tu afirmación es que $r_T$ debería ser precisamente este número, ¡a pesar de que sabemos que es 0 bps!
¿Qué tiene que ver GBM con algo en esta pregunta?! El OP está preguntando si acumular rendimientos intradía definidos desde un punto fijo llevaría al rendimiento del final del día. Tu respuesta no tiene ni el más mínimo sentido.
No me gusta entrar en discusiones con nadie, pero no veo cómo esto no tiene sentido si piensas en la pregunta. E[r(T)] = S * meu * T, si esto se calcula ex ante y si se conocen los rendimientos por hora, ex post, r(T) = exp(r(0) + ... + r(T)) = exp(r(0) * ... * exp(r(T)). Esto no es un valor esperado.
Dado que se mencionan los valores esperados, asumí con seguridad que se trata de la forma anterior. E[r(t)] = S * meu * t. Si me diste un voto negativo, por favor deshazlo, ya que no veo esto como incorrecto bajo ciertas suposiciones.
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¿Cuál es tu modelo? No puedes probar nada sin suposiciones adicionales.
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¿Podrías mostrar un ejemplo (incluso solo uno) de dónde probaste esto previamente? $\Pi{(r_t)}$ sería "doble contabilidad" de rendimientos parciales ya que defines todos los rendimientos desde el mismo punto fijo.
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Sí, @chrisaycock, no me importaría contar doble. Si la definición de $r_t$ fuera $ln(p_t)$ - $ln(p_{t-1})$, el producto sería obvio, pero si lo defino desde un punto fijo, ¿qué significaría eso?
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@moderadores, Por favor cancelen mi edición. No pude ver para volver a hacer mi edición.
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¿Estás buscando una expectativa incondicional o una expectativa en algún momento específico? ¿Por qué sería $E[r_t]=r_T$? Esta pregunta parece bastante confusa, y tal como está formulada actualmente parece ser "no una pregunta real".