Sobre el SDE de Movimiento Browniano Geométrico

Question

Es sabido que la mayoría de los activos financieros están sujetos a Movimiento Browniano Geométrico, que satisface las siguientes ecuaciones:

$\frac{dS}{S}=\mu dt + \sigma dX$ (1)

$S_t = S_0 e^{(\mu + \frac{1}{2} \sigma^2)t + X_t}$ (2)

Aquí mis preguntas son:

En la práctica, cuando utilizamos esta SDE para simular los precios de los activos camino, es decir, el movimiento del precio de un índice bursátil, ¿qué parámetros debo usar para $\mu$ y $\sigma$.

¿El $\mu$ stand para anualizada significa registro de devolución del índice de la bolsa? Pero en la ecuación(1), el $\mu$ no aparece como el exponente de e. Aunque, en la ecuación(2) $\mu$ es realmente el exponente de e.

¿El $\sigma$ stand de la volatilidad del precio de las acciones, o la volatilidad del logaritmo del precio, o la volatilidad de registro de las devoluciones?

Aquí la volatilidad es una anualizado o no?

La volatilidad es un rodillo de volatilidad o se dio cuenta de la volatilidad?

gracias por su atención!

Answer 1

La ecuación (2) es falsa, es de $(\mu \sigma^2/2)t$ y $\sigma X_t$. A continuación, la estimación de $\mu$ es no sólo el medio de registro de las devoluciones. Usando $\log(S_{n+1}) - \log(S_{n}) \sim N(\mu \sigma^2/2, \sigma^2)$, usted estimado de $\sigma$, con la desviación estándar de la muestra de registro de devoluciones, decir $\hat \sigma$, y luego de obtener una estimación de $\mu$ con "la media de la muestra de registro de devoluciones+ ${\hat \sigma}^2/2$." Y en realidad GBM no es un muy buen modelo para la mayoría de las poblaciones, es demasiado simple.

Answer 2

Todo en unidades de rendimiento. Supongamos, por ejemplo, que desde 1950 hasta el año 2017 anualizada promedio de los retornos del S&P 500 están cerca del 11,5% (.115) y la desviación estándar/vol es alrededor de un 17% (0.17). Que es de $\mu$ y $\sigma$.