¿Cómo replicar esta opción?

Question

Tengo una pregunta que no estoy seguro de cómo abordar: Supongamos que los tipos de interés son del 50%, una acción que vale \$1 today can be worth \$ 2, \$1, \$ 0,5 el año que viene.

Si la opción que paga \$1 only when S = \$ 2 se negocia en el mercado y vale \$0.125, calculate the price and replicating portfolio of the option that pays \$ 0,5 cuando S = 1.

¿Tiene algo que ver con la matriz de pago pero no sé cómo aplicarla?

Answer 1

Si lo entiendo bien, tienes un mercado con 3 estados: arriba, plano o abajo.

Tienes 3 instrumentos:

1. Las acciones
2. El tipo sin riesgo (50%)
3. La opción

Si puede crear una cartera hoy con estos 3 instrumentos que pueden replicar el pago de la opción que tiene que cotizar, entonces el ley del precio único le dice que el precio de la opción debe ser el precio de esta cartera.

Así, tienes que resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

Suponga que va a mantener $a$ de las acciones, $b$ bono sin riesgo, $c$ y utilizando la notación de fracción para 0,5, 1,5, el sistema es:

Arriba el Estado : $a \cdot 2 + b \cdot \frac{3}{2} + c \cdot 1=0$

Estado llano : $a \cdot 1 + b \cdot \frac{3}{2} + c \cdot 0=\frac{1}{2}$

Estado de Down : $a \cdot \frac{1}{2} + b \cdot \frac{3}{2} + c \cdot 0=0$

De la tercera ecuación se obtiene $a=-3b$ .

Sustituyendo en la segunda, se obtiene $-3b+\frac{3}{2}b = \frac{1}{2}$ que producen $b=-\frac{1}{3}$ y por lo tanto $a=-3 \cdot \left( - \frac{1}{3} \right)=1$ .

Finalmente, sustituyendo la primera ecuación, se obtiene $1 \cdot 2 + \left( - \frac{1}{3} \right) \cdot \frac{3}{2} + 1 \cdot c =0$ .

Esto da como resultado $c= - \frac{3}{2}$ .

Así que la cartera que mantiene 1 acción, vendiendo $\frac{1}{3}$ bono sin riesgo y vender $\frac{3}{2}$ opciones replica perfectamente el pago de la opción que tiene que cotizar. Por tanto, el precio de esta opción es $1 \cdot 1\$ - \frac{1}{3} \cdot 1 \$ - \frac{3}{2} \cdot 0.125\$ =0.48\$$