Estática comparativa pregunta con una aplicación

Question

En el estado de Mexas, dos políticos (el Señor BO, o "Político 1" y el Señor TC, o "Político 2") compiten intensamente por un escaño en el senado. Los dos políticos que gastan en publicidad para aumentar el número de seguidores. Un consultor político considera que el óptimo de publicidad gastos de Señor BO, $S_{1}$, depende del gasto de $S_{2}$ por el Señor TC y una "simpatía" parámetro $\alpha$ que influye en la popularidad del Señor BO en Mexas: $$\text{Ecuación 1: }S_{1} = f\left ( S_{2}, \alpha \derecho ),$$ donde $f:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ es dos veces continuamente diferenciable, $0<\frac{\partial f\left ( S_{2}, \alpha \derecho )}{\partial S}<1$ y $0<\frac{\partial f\left ( S_{2}, \alpha \derecho )}{\parcial \alpha}<1$ para todo $S_{2} \geq 0$ y todo $\alpha \geq 0$.

El óptimo de gasto de político 2 depende del gasto de $S_{1}$ de político 1 y un "rojo" parámetro $\beta$, lo que influye en cómo muchas personas se adhieren a el Señor TC: $$\text{Ecuación 2: }S_{2} = g\left ( S_{1}, \beta \derecho ),$$ donde $g:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}$ es dos veces continuamente diferenciable, $0<\frac{\partial g\left ( S_{1}, \alpha \derecho )}{\partial S}<1$ y $0<\frac{\partial g\left ( S_{1}, \alpha \derecho )}{\parcial \alpha}<1$ para todo $S_{1} \geq 0$ y todo $\beta \geq 0$.

Los valores de equilibrio de $S_{1}$ y $S_{2}$ son dados por la solución de las ecuaciones simultáneas (1) y (2). Supongamos que existe una solución única $S_{1}^{*}>0$ y $S_{2}^{*}>0$.

Hace un aumento de $\alpha$(celebración de $\beta$ constantes) necesariamente aumentar o necesariamente disminuye $S_{1}^{*}$? Explique.

Mi intento: Aquí he utilizado el Teorema de la Función Implícita para responder a la pregunta, como esencialmente estamos buscando la estática comparativa de $\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha }$.

Puesto que a partir de la ecuación 2, $S_{2}^{*} = g\left ( S_{1}^{*}, \beta \right )$, lo he sustituido $S_{2}^{*}$ en la ecuación para obtener $$S_{1}^{*} = f\left ( g\left ( S^{*}_{1}, \beta \derecho) \alpha \derecho ).$$ A continuación, ya que $$S_{1}^{*} - f\left ( g\left ( S^{*}_{1}, \beta \derecho) \alpha \derecho ) = 0 \equiv F,$$ Puedo aplicar el Teorema de la Función Implícita (IFT) para deducir $\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha }$.

Así que $$\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha } = - \frac{\frac{\partial F}{\partial \alpha}}{\frac{\partial F}{\partial S_{1}}} = - \frac{\frac{\partial f\left ( \derecho )}{\parcial \alpha}}{1 - \frac{\partial f \left ( \derecho )}{\partial g} \frac{\partial g \left ( \derecho )}{\partial S_{1}^{*}}} \frac{>}{<} 0.$$

Dado que no sabemos el signo de la derivada $\frac{\partial f \left ( \derecho )}{\partial g}$, el efecto de $\alpha$ sobre $S^{*}_{1}$ es ambiguo.

Tiene sentido mi respuesta?

Answer 1

Usted puede obtener una respuesta definitiva para $$\text{signo}\left\{\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha }\right\}$$ , dada la hipótesis.

De

$$S_{1}^{*} - f\left ( g\left ( S^{*}_{1}, \beta \derecho) \alpha \derecho ) = 0 \equiv F$$

y el Teorema de la Función Implícita

$$\frac{\mathrm{d} S_{1}^{*} }{\mathrm{d} \alpha } = - \frac{\partial F/\partial \alpha}{\partial F/\parcial S^*_{1}} $$

tenemos

$$\frac{\partial F}{\partial \alpha} = -\frac{\partial f}{\partial \alpha}$$

y

$$\frac{\partial F}{\partial S^*_{1}} = 1-\frac{\partial f}{\partial S_2}\cdot \frac{\partial g}{\partial S^*_{1}}$$

Por estas expresiones sabemos que no sólo los signos, sino también de las magnitudes. El resultado de la siguiente manera.