Convergencia de la distribución de cuantiles 0,05 mediante simulación de Monte-Carlo

Question

Estoy intentando ser admitido en un máster de finanzas cuantitativas (vengo de la informática), así que la semana que viene tendré 3h para resolver un examen de computación estadística usando mi lenguaje favorito (me recomendaron o bien MATLAB, Python o R). El simulacro de examen que me han proporcionado pregunta lo siguiente:

Generar una serie temporal de 2 años (500 observaciones) a partir de una distribución estable con parámetros $$\alpha = 1.5, \quad \beta = 0.0, \quad \gamma = 1.0, \quad \delta = 1.0$$

a) Encuentre la distribución de la $0.05$ cuantiles de los rendimientos superpuestos de 5 días obtenidos a partir de la serie temporal de 2 años de los rendimientos de 1 día.

b) Demostrar (numérica o teóricamente) que se han considerado suficientes ensayos considerados.

Nota: tomar $P_i$ como el precio en el $i$ -Del día,

• Devoluciones en 1 día: $R_{1}^{i} = \frac{P_{i+1} - P_{i}}{P_{i}}, \; i=1,\ldots,499$
• n días: $R_{n}^{i} = \frac{P_{i+n} - P_{i}}{P_{i}}$ .

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Estoy un poco confundido con todo el asunto, así que me gustaría que me ayudaran a comprobar si estoy enfocando este problema correctamente. Así es como lo resolvería:

1) generar una serie temporal de 500 valores utilizando esta técnica (Supongo que se refieren a la familia de distribuciones alfa estables);

2) después de jugar un poco, soy capaz de obtener la serie temporal de rendimientos de 5 días a partir de la serie temporal original de rendimientos de 1 día: $$R^{n}_{i} = (R^{1}_{i} + 1) (R^{1}_{i+1} + 1) \ldots (R^{1}_{i+n-1} + 1) - 1$$

3) calcular la función de distribución empírica de los rendimientos de 5 días, digamos $F(x)$ ;

4) estimar cada cuantil $q_{\eta}$ por $$\hat q_{\eta} = F^{-1}(\eta)$$

Nota: Para invertir la función de distribución empírica ordenaría los valores simulados por su tamaño y luego escogería el valor en la posición $k = \min \{ n \in \{ 1, \ldots, N \} | n/N \geq \eta \}$

5) guardar la distribución de $0.05$ quantiles

6) repetir los pasos 1) a través de 5) un número mínimo de veces, $K$ que tengo que determinar a través de alguna ley de convergencia o algo así.

Pregunta: Alguna pista sobre cómo determinar $K$ ?

Answer 1

Dos comentarios:

1. Los rendimientos normales deben estar siempre en $[-1,+\infty)$ . Creo que la forma de muestreo $R_i$ de Stable viola directamente eso. Puede que quieras probar $\log (1+R_i)$ de Stable en su lugar. La pregunta está muy mal formulada.

2. Para la distribución muestral de un percentil se puede invocar la estadística de orden. Seguirá una transformación de la distribución Beta.

Edición: Con respecto a su comentario sobre el punto 2:

Si una variable aleatoria $X$ sigue cualquier distribución continua con fdc $F(x)=P[X<x]$ entonces la variable aleatoria $U=F(X)$ seguirá una distribución uniforme. O, al revés, si $U$ es uniforme, entonces $X=F^{-1}(U)$ tendrá la distribución requerida.

También hay que tener en cuenta que $F$ es una transformación monótona, es decir, si tengo una muestra $X_1>X_2>\cdots>X_n$ entonces la transformada $U_1>U_2>\cdots>U_n$ .

Se puede demostrar que si saco una muestra de $N$ de una distribución uniforme, entonces el $k$ el más pequeño, denotado $U_{(k)}$ seguirá una distribución Beta $B(k, N-k+1)$ , digamos que con cdf $Q(u;k,N) = P[U_{(k)}<u]$ . Si quiero trabajar con un percentil determinado $p$ , entonces puedo establecer $k=pN$ y la distribución del percentil tendrá la fdc $Q(u;pN, N)$ .

Si se juntan las dos, se obtiene que la fdc del $p$ percentil de $N$ sorteos de $X$ tendrá cdf $Q(F(x);pN,N)$ .

Answer 2

Todo eso me parece correcto. Podría ser un poco más natural convertir los rendimientos de un día en precios y luego calcular los rendimientos de cinco días a partir de ellos, pero por supuesto es equivalente.

Para la última pregunta, estás generando una secuencia de variables aleatorias (los cuantiles) y quieres saber cómo de buena es tu estimación de la media. Una opción práctica sería estimar el error estándar de la media de la forma habitual.