Cómo resolver una ecuación lineal prospectiva $x_t = \beta E_t[x_{t+1}] + k$ donde $\lim_{t \to \infty} x_t = 0$ y $0<\beta < 1$ ?

Question

¿Cómo se resuelve una ecuación lineal prospectiva $x_t = \beta E_t[x_{t+1}] + k$ donde $\lim_{t \to \infty} x_t = 0$ y constante $k,\beta \in \mathbb{R}$ , $0<\beta <1$ ?

Answer 1

(Sospecho que $E_t[x_{t+1}] = E(x_{t+1}\mid I_t)$ , donde $I_t$ es el conjunto de información, es decir $E_t[x_{t+1}]$ se traduce como "el valor esperado de la variable aleatoria $x_{t+1}$ condicionado a la información disponible en el momento $t$ ").

La respuesta de @FooBar implementó el "algoritmo de solución estándar", llegó a una solución constante y comentó que dicha solución viola la condición límite.
Estrictamente hablando, una solución constante también satisfaría la solución límite, si fuera igual a cero (lo que en nuestro caso implica $k=0$ ): Si en verdad tuviéramos como solución

$$x_t = \frac k{1-\beta}$$ entonces

$$\lim_{t \to \infty} x_t = \lim_{t \to \infty}\frac k{1-\beta} = \frac k{1-\beta} \neq 0$$

excepto si $k=0$ . Pero esto es trivial (o al menos, poco interesante).

Así que pregunto, si $k\neq 0$ ¿Qué se necesita para obtener una solución ? La ley de la evolución debe mantenerse también en el límite, así que

$$\lim_{t \to \infty} x_t = \lim_{t \to \infty}\Big[\beta E_t[x_{t+1}] + k\Big]=0$$

$$\Rightarrow \lim_{t \to \infty}E_t[x_{t+1}] = -\frac k{\beta} \tag{1}$$

Es decir, a medida que la variable aleatoria tiende a cero, su valor esperado, condicionado a la información disponible en el periodo anterior, debe ser igual a un valor no nulo constante mientras que la propia variable tiende a cero. Considere algunos casos, para ver si y cuando tal cosa puede suceder:

A) Si $x_t$ fue totalmente inobservable (no observado directamente y no susceptible de estimación indirecta a través de otras variables)? En tal caso, el conjunto de información no contendría ninguna información sobre $x_t$ , lo que significa que el valor esperado condicional sería igual al incondicional. Así que tendríamos,

$$\lim_{t \to \infty}E_t[x_{t+1}] = \lim_{t \to \infty}E[x_{t+1}] \tag{2}$$

Esto es economía, lo que significa que las propiedades de las entidades matemáticas deben tener en cuenta lo que representan en el mundo real. Así que no tendría sentido no para asumir que $x_{t+1}$ es no acotado (más aún, esto significaría que el $x$ variable aleatoria va al infinito en un tiempo finito y luego "vuelve" a tender a cero en un tiempo infinito -y para aquellos que puedan pensar que la "hiperinflación", la muy muy número pequeño comparado con el infinito). Si está acotado entonces se cumple el teorema de la convergencia dominada/acotada y tenemos que

$$\lim_{t \to \infty}E\left(x_{t+1}\right) =E\left(\lim_{t \to \infty}x_{t+1}\right) =0 \neq -\frac k{\beta} \tag{3}$$

Así que este no es un caso en el que podamos obtener la relación requerida $(1)$ .

B) La condición límite forma parte de los conjuntos de información para el $t$ . Entonces, inmediatamente

$$E\left(\lim_{t \to \infty}x_{t+1}\mid I_t\right) =0$$

Es decir, en cualquier momento sabemos que la variable tenderá finalmente a cero. ¿Puede esto ser compatible con la relación $(1)$ ? Podríamos invocar de nuevo la acotación de $x_t$ y una generalización del Teorema de Convergencia Dominada, ya que aquí la medida (de probabilidad condicional) también es variable en el tiempo, y de nuevo se obtiene una expectativa nula en el límite. Pero intuitivamente también, si sabemos que eventualmente la variable tenderá a cero, en algún momento del tiempo esto debe reflejarse en $E_t$ , ciertamente en el límite. Pero además, la relación requerida $(1)$ no aguantará.

C) Observamos perfecta o imperfectamente el valor de la variable, pero "no avisamos debidamente": nuestras Expectativas son no Racional. En ese caso, el símbolo $E_t$ ya no representa el operador de expectativas condicionales pero es sólo un símbolo genérico para la "anticipación en el tiempo $t$ "(en la literatura del Aprendizaje Adaptativo esto se suele simbolizar con $E^*_t$ ) y adquiere el valor que debe adquirir para que se cumpla la condición límite . En otras palabras, dado la ley de la evolución y la condición limitante, nosotros concluir que las expectativas no deben obedecer a la Hipótesis de las Expectativas Racionales, ni siquiera al límite .

En este caso, la solución es obvia: definir $$E^*_t(x_{t+1}) = -\frac {(1-c\beta^t)k}{\beta}$$

para alguna constante $c$ Esta regla de formación de expectativas satisface $(1)$ y transforma la ley del movimiento en

$$x_t = \beta \Big[-\frac {(1-c\beta^t)k}{\beta}\Big] + k = ck\beta^t$$

que a su vez satisface la condición límite.

Así que concluimos que: la ecuación específica, con la condición limitante específica, tiene una solución si la formación de expectativas no obedece a la Hipótesis de las Expectativas Racionales, sino que sigue la regla anterior, o alguna otra con el mismo efecto limitante.

Answer 2

Como dice FooBar, puedes dejar la expectativa. A continuación, derivar el general $n$ -en el caso de $x_{t}$ en términos de $x_{t+n}$

$$x_{t}=\beta^{n}x_{t+n}+k\sum_{i=0}^{n}\beta^{i}.$$

Como $n\rightarrow \infty$ , $\beta^{n} \rightarrow 0$ y (nos dicen) $x_{t+n} \rightarrow 0$ .

Por lo tanto, utilizando lo anterior $$x_{t}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left[\beta^{n}x_{t+n}+k\sum_{i=0}^{n}\beta^{i}\right]=\frac{k}{1-\beta},$$ donde hemos utilizado el hecho de que la suma geométrica converge porque $0<\beta<1$ , $$\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=0}^{n}\beta^{i}=\frac{1}{1-\beta}.$$

Answer 3

Como no hay nada aleatorio en el lado derecho, sabemos que el lado izquierdo tampoco debe ser aleatorio. Por lo tanto, podemos eliminar el operador de expectativas

$$x_t = \beta x_{t+1} + k$$ $$x_{t+1} = \beta x_{t+2} + k$$ $$x_t = \beta (\beta x_{t+2} + k) + k$$ $$x_t = k + \beta k + \beta\beta x_{t+2} $$

Donde ahora podemos ver hacia dónde nos lleva esta ecuación:

$$x_t = k\sum_{s=0}^\infty \beta^s + \lim_{T\to\infty} \beta^Tx_T$$

donde he utilizado que el término limitador con $T\to\infty$ convergerá a cero.

$$x_t = \frac{1}{1-\beta} k$$

Lo que da lugar a una constante $x$ . Sin embargo, esto viola $lim_{t\to\infty} x_t = 0$ , como $x_t$ es una constante. En conclusión, la ecuación dada no tiene solución.