Demuestre si $\succsim$ es racional entonces: si $x \succ y \succsim z$ entonces $x \succ z$
Por definición de $\succ$ ,
\begin{equation} \tag{1} x \succ y \iff x \succsim y, \; \neg \; y \succsim x \end{equation}
Donde $\neg$ es el símbolo de negación.
Así que queremos mostrar ambos
$$ x \succsim z \; and \; \neg z \succsim x $$
Se nos da
\begin{equation} \tag{2} y \succsim z \end{equation}
Por $(1)$ y $(2)$ y la transitividad de $\succsim$ (ya que $\succsim$ es racional),
\begin{equation} \tag{3} x \succsim y \succsim z \Rightarrow x \succsim z \end{equation}
También necesitamos $\neg \; z \succsim x$
Supongamos lo contrario, que $z \succsim x$ pero luego
$$ z \succsim x \succ y \succsim z $$
De tal manera que
\begin{equation} \tag{4} z \succ z \end{equation}
es una contradicción (como $\succ$ es irreflexivo) por lo que debe ser que
\begin{equation} \tag{5} \neg \; z \succsim x \end{equation}
Aplicando $(3)$ y $(5)$ tenemos la propiedad deseada
$$ x \succsim z, \; \neg \; z \succsim x \Rightarrow x \succ z $$
Mi pregunta es si se me permite llegar a la afirmación $(4)$ de la línea de arriba?
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No. Llegar a $(4)$ la forma en que lo hace requiere el tipo de "transitividad" en $\succ$ que está tratando de mostrar en primer lugar.