Completitud a partir de un ejemplo

Question

Tengo un juego $X = \{1,2,3\}$ y una relación binaria $B = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,3),(3,1)\}$ .

Intento comprender si esta relación es completa.

La definición de integridad que estoy utilizando es si para cada $x,y$ en $X$ o bien $xBy$ o $yBx$ .

Al principio pensé $B$ estaba completo pero ambos $(2,2)$ y $(3,3)$ no están en $B$ . En la definición, si establezco $x=2,y=2$ entonces creo que deberíamos tener $(2,2)$ en $B$ . Por otra parte, me parece sin sentido porque no es $2B2$ relacionados con la reflexividad? Por tanto, para ser completos, ¿necesitamos $(2,2) \in B$ ?

Answer 1

Sí, la relación $B$ en $X$ no está completa, ya que $3 \in X$ pero $(3,3) \notin B$ .

Las variables $x$ y $y$ en la definición de integridad " $\forall x,y \in X, xBy \lor yBx$ "se tratan como marcadores de posición y, por tanto, no son necesariamente distintos. De hecho, la exhaustividad implica reflexividad cuando se deja que $y = x$ en la definición.