Estoy leyendo Sebastien Bossu de "Un nuevo Enfoque Para la elaboración de modelos y Precios de Correlación de Swaps" (enlace). Estoy recordando algunas de las definiciones del papel y le gustaría entender cómo probar una de las primeras demandas. Aquí vamos.
El universo $S = (S_i) \quad i = 1..N$. El peso del vector $w = (w_i) \quad i = 1..N$.
- Denotar $S_i(t)$ el precio de las acciones $S_i$ en el tiempo $t$, con convenio $S(0) = 1$, y definimos sus geométricas como: $I(t) = \prod_{i=1}^N S_i(t)^{w_i}$.
Bajo una probabilidad de espacio $(\Omega, E, P)$ con $P$-filtración de $F$, y suponiendo que el vector $S$ de los precios de las acciones es de$F$adaptado, positivo Ito proceso.
Dado un período de tiempo $T$ y un positivo proceso de Ito $X$, definimos: $|\tau| = \int_\tau ds$
$\sigma^X(\tau) = \sqrt{ |\tau|^{-1} \int_\tau (d \ln X_s)^2}$
$\overline{\sigma}^S(\tau) = \sqrt{\sum_1^n w_i (\sigma^{S_i} (\tau))^2}$
$\epsilon(\tau) = \sqrt{\sum_1^N w^2_i (\sigma^{S_i}(\tau))^2}$
Ahora que hemos definido los términos, el reclamo es que, $\overline{\sigma}^S(\tau) >= \sigma^I(\tau)$. Traté de demostrar esta identidad en vano. No estoy seguro de lo que me estoy perdiendo. Aquí están mis intentos.
$\ln (I) = \ln (\prod_{i=1}^N S_i(t)^{w_i}) = \sum w_i \ln S_i(t)$
$d \ln (I) = \sum w_i d \ln S_i(t)$
$\overline{\sigma}^S(\tau) = \sqrt{\sum_1^N w_i \frac{1}{\tau} \int_\tau (d \ln S_i)^2} = \sqrt{\sum_1^N w_i \sigma_i^2}$
$\sigma^I(\tau) = \sqrt{|\tau|^{-1} \int_\tau (d \ln I)^2}$
$=\sqrt{|\tau|^{-1} \int_\tau (\sum w_i d \ln S_i(t))^2 } = \sum_{i,j =1}^N w_i w_j \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j$
$\sigma^I(\tau)^2 = \sum_{i,j} \rho_{ij} w_i w_j \sigma_i \sigma_j \le \sum_{i,j} w_i w_j \sigma_i \sigma_j$
Yo soy el pensamiento inductivo prueba debería funcionar bien, pero va a ninguna parte; Aquí está, para $N = 1$ es cierto, ahora si puedo asumir que es cierto para $N$ tenemos que demostrar que,
$w_{N+1} \sigma_{N+1}^2 \ge \sum_{i=1}^{N+1} w_i w_{N+1} \rho_{i{N+1}} \sigma_i \sigma_{N+1}$
Claramente, $\sum_{i=1}^{N+1} w_i w_{N+1} \rho_{i{N+1}} \sigma_i \sigma_{N+1} \le \sum_{i=1}^{N+1} w_i w_{N+1} \sigma_i \sigma_{N+1}$ $\le \sum_{i=1}^{N+1} w_{N+1} \sigma_i \sigma_{N+1}$
Ahora estoy atascado porque la Identidad elegí claramente $\ge$ el lado izquierdo. He intentado de varias otras maneras de ir sobre él, pero con resultados similares. No estoy seguro de lo que me estoy perdiendo.
