¿Cómo puede romperse la cobertura sin riesgo BS cuando cambia la volatilidad, si un paseo aleatorio puede producir cualquier historial de precios?

Question

Supuestamente, una cobertura sin riesgo Black-Scholes se romperá si la volatilidad no es constante. Sin embargo, un paseo aleatorio con cualquier sigma podría producir cualquier historial de precios con una probabilidad no nula. Si existe un historial de precios que rompa tu cobertura sin riesgo, entonces nunca tuviste una para empezar, porque un paseo aleatorio con un sigma constante podría haber producido ese historial de precios y romper tu cobertura.

Se podría pensar que se puede observar un historial de precios y concluir que la volatilidad cambió en un día determinado, pero en realidad siempre existe la posibilidad de que un paseo aleatorio con sigma constante haya producido ese historial de precios. Si una cobertura no tiene riesgo dada la volatilidad constante, entonces no puede fallar bajo ninguna historia de precios, incluso las historias de precios que harán que los inversores digan que la volatilidad ha cambiado.

¿Cuál es la resolución de esta aparente contradicción?

Answer 1

La resolución es que el GBM que se asume en Black-Scholes es continuo, y la cobertura no tiene riesgo sólo si se reequilibra continuamente. Ahora bien, es cierto que un GBM con cualquier vol podría producir cualquier historia de precios, pero si se cubre a intervalos discretos, la historia de la trayectoria muestreada y su volatilidad observada punto a punto se vuelve muy importante para el rendimiento de su cobertura.

Imagínese, en particular, que usted cubre un índice que se negocia de forma continua, con una volatilidad del 20% diariamente a las 16:30 y que, por algún extraño suceso, la trayectoria observada muestreada diariamente a las 16:30 tiene una volatilidad observada de cero (en cada punto de las 16:30, el precio subyacente es el mismo), entonces esa es la vol que experimentará su estrategia de cobertura, y esto será muy diferente de la hipótesis de vol subyacente del 20%.

Esto lleva a una desviación potencialmente grande de las pérdidas y ganancias con respecto a 0, incluso si la trayectoria de "muestreo continuo" presenta la volatilidad del 20% que se supuso.