Cómo puedo encontrar la cartera con el máximo ratio de Sharpe - Utilizando los multiplicadores de Lagrange

Question

En la teoría de carteras de Markowitz podemos construir carteras con la mínima varianza para una determinada rentabilidad esperada (o viceversa). A través de los riesgos esperados, esto traza la conocida frontera eficiente.

Para encontrar la llamada cartera de tangencia, buscamos resolver:

$$\max_x \frac{\mu^T x}{\sqrt{x^T Q x}}$$

Después de Tütüncü (sección 5.2 ), esto puede ser reformulado bajo un cambio de variables a un problema de optimización cuadrática más simple:

$$\min_{y,\kappa} y^T Q y \qquad \text{where} \quad (\mu-r_f)^T y = 1,\; \kappa > 0$$

He resuelto el problema y he obtenido valores para $y$ . Sin embargo $\kappa$ se define en términos de $x$ ... Así que, aunque estoy seguro de que es una pregunta estúpida, ¿cómo traducimos realmente el $y$ vector para recuperar las verdaderas ponderaciones de la cartera $x$ ??

Lo único que se me ocurre es que no he incluido una restricción para $\kappa$ . Esto es por la misma razón anterior (que se define en términos de $x$ y por lo tanto no está disponible), y porque las condiciones KKT sugeridas en esta respuesta también ignorar el $\kappa >0$ plazo.

Answer 1

El truco está en la transformación de las restricciones utilizadas para resolver el problema de optimización. Esto puede verse en la definición del conjunto $\chi^+$ en las dos líneas que siguen a la ecuación 5.4 de Tütüncü. Así, por ejemplo, la restricción presupuestaria habitual ( $e^Tx = 1$ ) sería sustituido por ( $e^Tx - \kappa = 0$ ). Después de añadir esta restricción, la solución con el máximo ratio de Sharpe es $x^* = \frac{\hat{x}}{\hat{\kappa}}$ , donde $(\hat{x},\hat{\kappa})$ es la solución del problema de programación cuadrática (véase la parte inferior de la página 62).

Answer 2

H es la matriz hessiana

f = [0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0];
n = 10;
rf = 0.0082;
ExpReturns =  -0.00591 + 0.002 * (1:10)';

% Optimization problem data
lb = zeros(n+1,1);
ub = inf*ones(n+1,1);
F = ones(n,1);
Aeq = [( AvrReturn- rf)' 0;ones(1,n) -1];
beq = [1; 0];
A = [eye(n),-1*ones(n,1)];
b = zeros(n,1);
[x4 fval4,exitflag,output] = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
y = x4(1:n);
k = x4(n + 1);
x = x4/k;