Cambio de numerario en opciones con características de intercambio de divisas

Question

El valor futuro de una opción denominada en EUR bajo la medida de riesgo "COP" se da por: $$V_t^{COP} = D^{COP} \mathbb{E}_t^{COP} \left[X_T(S_T -K)^+\right]$$ donde $X_T$ es la tasa de cambio COP/EUR.

La fijación de precios de la opción en la medida neutral de riesgo EUR nos obliga a escribir el lado derecho de arriba como (teorema de Girsanov): $$D^{COP} \mathbb{E}_t^{EUR}\left [\frac{d\mathbb{Q}^{COP}}{d\mathbb{Q}^{EUR}}|_t X_T (S_T-K)^+\right]$$ Donde $\frac{d\mathbb{Q}^{COP}}{d\mathbb{Q}^{EUR}}|_t$ es la derivada de Radon-Nikodym.

¿Cómo podemos argumentar o derivar que la derivada de Radon Nikodym en nuestro caso está dada por: $\frac{d\mathbb{Q}^{COP}}{d\mathbb{Q}^{EUR}}|_t = \frac{X_t D^{EUR}}{X_T D^{COP}} $?

Answer 1

Notaciones

• $S_T$ y $K$ están expresados en EUR;
• $D^{CCY}(t,T) = \frac{\beta^{CCY}_t}{\beta^{CCY}_T}$ donde $\beta^{CCY}$ es la cuenta del mercado monetario en la moneda $CCY$). En otras palabras, es el factor de descuento (estocástico) de $t$ a $T$ en la moneda $CCY$;
• $X_t$ es el valor de 1 EUR en COP.

Respuesta

La expresión de la derivada de Radon-Nikodym sigue la fórmula de cambio de numerario. Si $N$ y $M$ son dos numerarios con medidas correspondientes $\mathbb{Q}^N$ y $\mathbb{Q}^M$, entonces:

$$\frac{d\mathbb{Q}^{N}}{d\mathbb{Q}^{M}}|_t = \frac{N_T}{M_T} \frac{M_t}{N_t}$$

Aquí, $N_t = \beta^{COP}_t$, mientras que $M_t = \beta^{EUR}_t X_t$.

Se sigue que:

$$\frac{d\mathbb{Q}^{COP}}{d\mathbb{Q}^{EUR}}|_t = \frac{\beta^{EUR}_t X_t}{\beta^{EUR}_T X_T} \frac{\beta^{COP}_T}{\beta^{COP}_t} = \frac{D^{EUR}(t,T)}{D^{COP}(t,T)} \frac{X_t}{X_T}$$

Llevando a la siguiente expresión para el precio de la opción en COP:

$$\begin{aligned} V_t^{COP} & = \mathbb{E}^{COP}_t \left[ D^{COP}(t,T) X_T (S_T - K)^+ \right] \\ & = X_t \mathbb{E}^{EUR}_t \left[ D^{EUR}(t,T) (S_T - K)^+ \right] \end{aligned}$$

Prácticamente hablando, lo que esto expresa es que estas dos cosas son iguales:

1. Convertir el pago (que está en EUR) a COP en $T$ y luego descontar en COP de $T$ a $t$;
2. Descontar el pago de $T$ a $t$ en EUR y luego convertir el valor descontado en $t$ de EUR a COP.