Considere el siguiente modelo de regresión:
$y_{i1}=\beta_1 +u_{i1}$
$y_{i2}=\beta_{21}+\beta_{22}x_i+u_{i2}$ .
Si $E(x_i' u_{i1})\neq 0$ y $E(x_i' u_{i2})=0$ obtendremos estimadores consistentes para $\beta_1$ y $\beta_{21}$ ¿usando GLS?
Creo que no obtendremos estimadores consistentes para ambos, porque el supuesto $E(x_i\otimes u_i)=0$ es violado. Por favor, corríjanme si me equivoco. Gracias de antemano.
Los estimadores OLS de las ecuaciones son consistentes bajo la normalización adicional de que $E(u_{i1})=0$ y $E(u_{i2})=0$ que naturalmente se suponen satisfechas. En cuanto a GLS, no sé a qué te refieres con GLS, pero si te refieres al estimador SUR, entonces no veo razones para que sea inconsistente. El hecho de que $E(x_i' u_{i1}) \ne 0$ es irrelevante porque $x_i$ no es un regresor en la primera ecuación.
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Tu pregunta necesita ser pulida. En primer lugar, ¿puede indicar la relación estadística entre $u_{i1}$ y $u_{i2}$ ? ¿Son independientes, independientes de la media, ortogonales? En segundo lugar, para estimar el parámetro de interés mediante GLS, necesitamos más información sobre el segundo momento (condicional) $E(u_{i2}^2\vert x_i)$ .