Pregunta sobre las superficies de volatilidad

Question

Como estudiante, tengo curiosidad por saber la respuesta a 2 preguntas sobre las superficies de volatilidad

1) Se afirma que la superficie de volatilidad debe ser plana según el modelo Black-Scholes. ¿Por qué? El tiempo (en relación al vencimiento) es una variable en la ecuación BS:

$$ {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0 $$

2) ¿Cuál es la utilidad práctica de la superficie de volatilidad (simulación, modelización, negociación)?

Answer 1

Demos un paso atrás para ver qué es realmente la volatilidad implícita (IV). Si conocemos el precio de una opción de compra, el tipo de interés (podemos utilizar el tipo al contado correspondiente al vencimiento de la opción), entonces la volatilidad implícita es el nivel de volatilidad que resultará en el precio de la opción al introducir en la fórmula de Black-Scholes el valor de una opción de compra. Si expresamos el precio de una opción de compra en función de la volatilidad ( $c_t^{BS}(\sigma;....)$ ) y observamos un precio de mercado para una opción $c^{observed}$ entonces la volatilidad implícita se define según la siguiente ecuación

$$c^{observed} = c_t^{BS}(\sigma^{implied};...)$$

Ahora a su pregunta: El resto es trivial. El modelo BS se basa en procesos de Movimiento Browniano Geométrico (GBM) para los activos. Independientemente del plazo de vencimiento o del strike, la volatilidad del activo es la misma.

Pregunta 2 No tengo experiencia profesional por lo que podría haber más a la misma, pero aquí está la idea básica del comentario de Alex C.

Cuando se observa una sonrisa (no lineal) entonces sabemos que el mercado NO tiene un precio de acuerdo con BS. Tenga en cuenta que las volatilidades implícitas pueden transformarse fácilmente en precios.

Si en lugar del modelo BS/GBM vamos a hacer uso de otro modelo para el activo $$dS_t = \text{some brownian motion (maybe multiple) driven dynamics} $$ La expresión para $dS_t$ incluirá, por supuesto, algunos parámetros.

Según nuestro nuevo modelo de $S_t$ podemos calcular el precio de una opción según $$c_t(k,S_t,T) = D(t,T)E_t^Q[(S_T-k)^+]$$ donde D es el factor de descuento. Para estimar los parámetros del modelo para el activo ( $dS_t=...$ ), podemos hacer coincidir los precios observados con los precios generados por nuestro modelo. Por lo tanto, los parámetros del modelo deben satisfacer $$ D(t,T)E_t^Q[(S_T-k^*)^+]=c_t^{BS}(\sigma^{implied},k^*)=\text{observed prices} $$

En la práctica se utilizan más huelgas y volatilidades implícitas y la igualdad no se mantendrá necesariamente de forma estricta. Una forma de estimar los parámetros es entonces el método del error por mínimos cuadrados. La idea es utilizar más puntos y determinar los parámetros de forma que se minimice la suma de las diferencias al cuadrado.

$$ \min_{\text{model parameters}} \sum_i^n \left(D(t,T)E_t^Q[(S_T-k_i)^+]=c_t^{BS}(\sigma^{implied},k_i)\right)^2 $$

Así que ajuste el modelo a los precios de mercado. Una vez estimados los parámetros, conocemos la distribución de $S_t$ que podemos utilizar para fijar el precio de otros derivados con $S$ como subyacente.