Descartar límite de soluciones en la Maximización de la Utilidad

Question

La resolución de los servicios públicos básicos Problema de Maximización, es decir,

\begin{align} max_{x\geq 0} u(x) \\ s.t. \,\,\, p^Tx\leq w \end{align}

tenemos la de Kuhn-Tucker de primer orden de la condición

\begin{se reúnen} \frac{\partial u(x)}{\partial x_l}\leq \lambda p_l \end{se reúnen}

que mantiene con la igualdad cuando $x_l > 0$, es decir, cuando las soluciones son interiores.

Es suficiente decir que, dado que las preferencias son asumidos para ser monótono, podemos descartar la posibilidad de que el límite de soluciones y por lo tanto estamos seguros en la configuración de la FOC con el signo igual?

Answer 1

No, no, no.

Un simple contraejemplo es \begin{align*} \max_x \hskip 10pt & x_1 + x_2 \\ \\ \text{s.t.} \hskip 10pt & x_1 + 2x_2 = 10. \end{align*} La función de utilidad es monótona (estrictamente monótona, incluso), pero la solución es una solución de esquina en $(x_1,x_2) = (10,0)$.

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La respuesta a la pregunta, pero vale la pena señalar que la definición de una condición suficiente (que no es muy fuerte) parece ser difícil.

Ni siquiera la convexidad es suficiente. (La función de utilidad anterior es convexa, y podría ser hecho estrictamente convexa con una muy leve curva.)

Parece que tendría que comparar la curva de nivel de los gradientes en todas las posibles soluciones de esquina para el gradiente del presupuesto establecido, pero que en realidad no ayudan en dimensiones superiores.

Answer 2

Una condición suficiente para el interior de las soluciones dadas estrictamente positivo de los precios y de los ingresos que a veces funciona es que cada paquete en el interior de la mercancía en el espacio (un paquete que contiene estrictamente positivo cantidades de todos los bienes) es el preferido para cada paquete en el límite de la mercancía en el espacio (un paquete que contiene cero de algunos productos básicos). Los principales ejemplos son Cobb-Douglas funciones de utilidad.

De forma más general (en realidad no), para asegurarse de que obtendrá el interior de soluciones para todos los positivos de los precios, utilidades marginales debería ser infinitamente grande cuando la cantidad de una mercancía va a cero. Un ejemplo típico es de $u:\mathbb{R}^2_+\to\mathbb{R}$ dada por $$u(x_1,x_2)=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}.$$