Cuasiconvexidad de la función de utilidad indirecta

Question

En la obra Microeconomía de Mas-Colell, Whinston y Green definen la función de utilidad indirecta, $v(p,w)$ como

$$ v(p,w) := u(x^*) $$

Donde $x^* \in x(p,w)$ resuelve el problema de maximización de la utilidad.

Declaran una propiedad de $v(p,w)$ es la cuasiconvexidad, es decir, el conjunto

$$ \{(p,w): v(p,w) \leq \bar{v} \} $$

es convexo para cualquier $\bar{v}$ .

Justo la página anterior decían que la convexidad de las preferencias implica que $u(\bullet)$ es cuasicóncavo Así que mi pregunta es por qué cuando miramos el máximo de $u$ ¿la propiedad cuasicóncava influye (no se me ocurre una palabra mejor) en la cuasiconvexidad?

Answer 1

Las funciones y sus variables son diferentes, por lo que no hay "inflexión" o volteo.

La función de utilidad $u$ que mapea desde el espacio de bienes $X$ a $\mathbb{R}$ es convexo y cuasicóncavo.

La función de utilidad indirecta $v$ que mapea desde el espacio de los precios a $\mathbb{R}$ es cuasiconvexa.

Intuitivamente:
$u$ : Si haces la media de dos paquetes de consumo, tu utilidad no es inferior a la media de la utilidad de los dos paquetes. En lugar de comer sólo carne un día y sólo verduras el otro, prefieres mezclarlas todos los días.

$v$ : Si el vector de precios es $p$ un día y $p'$ el otro día puedes estar mejor que si fuera $\frac{p + p'}{2}$ todos los días. Es fácil comprobar que todo lo que se puede comprar en el segundo régimen de precios también se puede comprar en el primero. Sin embargo, puede haber paquetes de consumo que sólo se pueden comprar en el primer régimen de precios.