El Valor en Riesgo condicional (CVaR) está dada como: $$CVaR_\alpha(X)=\frac{1}{\alpha}\int_{0}^{\alpha}VaR_\beta(X)d\beta=-E(X|X\leq-VaR_\alpha(X))=-\frac{1}{\alpha}\int_{-\infty}^{-VaR_\alpha(X)}x \cdot f(x)\,dx$$
No estoy seguro de si el último término es correcto con respecto a la multiplicación con $1/\alpha$?
El promedio es ya sólo hasta $VaR_\alpha$.
Es correcto!
También puedes ver de esta manera:
$$ \text{CVaR}_\alpha(X)=\mathbb{E}(X|X\leq \text{VaR}_\alpha(X)) = \frac{\int_{\mathbb{R}} x\cdot 1_{X\leq \text{VaR}_\alpha(X)}dF(x)}{\int_\mathbb{R}1_{X\leq \text{VaR}_\alpha(X)}dF(x)} = \frac{1}{\alpha} \int_{-\infty}^{\text{VaR}_\alpha(X)}xdF(x) $$
El signo problema sigue siendo (en ambas versiones). Si definimos $\text{VaR}_\alpha (X) = - F_X^{-1}(\alpha)$, entonces probablemente usted desee definir $\text{CVaR}_\alpha(X) = - \mathbb{E}(X|X\leq -\text{VaR}_\alpha(X))$ obtendrás tu resultado.
También me han estado desconcertados por la intuición de esta fórmula en el pasado.
Lo que tenía sentido para mí era la conversión de la integral de una suma. A continuación, puede hacer el cálculo, sencillamente, en un documento de excel con algunos datos simulados y ver de donde todo proviene.
El CVaR es en realidad el cálculo de la rentabilidad media, dado que es menos de una cierta cantidad. El cálculo es como un promedio ponderado, donde cada observación anterior VaR tiene un peso cero. Hacer la suma y luego se divide por el promedio ponderado de divisor. Pero ya sabemos que el VaR es una particular confianza, el divisor debe ser igual que la confianza de cada vez.
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