De problemas Estocásticos Ecuación Diferencial para el Movimiento Browniano Geométrico con el tiempo-dependiente de la deriva

Question

Dada la ecuación diferencial estocástica:

$$dZ_t = -Z_t \theta_t dB_t, \quad Z_0 = 1.$$

para un adecuado proceso de $\theta_t$ y el movimiento Browniano $B_t$, ¿cómo es exactamente lo puedo aplicar Itô del Lema a obtener:

$$ Z_t = \exp\left(- \int_{0}^{t}\theta_u \;dB_u - \frac{1}{2}\int_{0}^{t}\theta_u^2 \;du\derecho)? $$

Answer 1

Este es el SDE para un movimiento Browniano geométrico con el tiempo dependen de la volatilidad de los $\theta_t$. Puede ser fácilmente resuelto con la sustitución $$ X_t = \log Z_t =: f(Z_t). $$

Según Ito Lema tenemos que \begin{align} dX_t &= d f(Z_t) = \frac{\partial f}{\partial z}(Z_t) \;d Z_t + \frac 12 \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}(Z_t) \;\bigl(dZ_t \bigr)^2 = \\[2m] &= -\frac{1}{Z_t} Z_t \theta_t \; dB_t - \frac{1}{2} \frac{1}{\bigl(Z_t\bigr)^2} \bigl(Z_t \theta_t\bigr)^2 \; dt = \\[2m] &=-\theta_t \; dB_t - \frac 12 \theta_t^2 \; dt. \end{align}

Por lo tanto, $$ X_t = X_0 - \int_0^t \theta_u \; dB_u - \frac 12 \int_0^t \theta_u^2 \; du, $$ y el resultado sigue por la simple aplicación $\exp$ a ambos lados.