Estoy tratando de resolver esta pregunta sobre la teoría de la parada óptima. No sé cómo empezar. Cualquier pista sería muy útil

Question

Dejemos que $Z = (Zn)_{n=0,1,...,N}$ sea la envolvente de Snell de $X = (Xn)_{n=0,1,...,N}$ y $τ ∈ T_{0,N}$ . Sea $Z_n = M_n − A_n$ sea la descomposición de Doob de Z, entonces $Z_n^τ = M_n^τ − A_n^τ$ es la descomposición de Doob de $Z_n^τ$ (no pruebe esto).

(a) Explique por qué $Aτ$ = $A_N^τ$ .

(b) Por lo tanto, demuestre que $Z_τ$ es una martingala si y sólo si $A_τ$ = 0.

Answer 1

La envolvente de Snell es el supermartingale más pequeño que es mayor que $X$ . Desde $\tau \le N$ es obvio que $A_N^{\tau} = A_{N\wedge \tau} = A_{\tau}$ .

Para la parte (b), observa que, a partir de la descomposición de Doob, $M$ es una martingala, $A$ está aumentando, $M_0=Z_0$ y $A_0=0$ . Si $Z^{\tau}= \{Z_n^{\tau}\}_{n=1}^N$ es también una martingala, entonces \begin {align*} E(A_{ \tau }) &= E(A_N^{ \tau }) \\ &= E(M_N^{ \tau } - Z_N^{ \tau }) \\ &= M_0 - Z_0=0. \end {align*} En consecuencia, $A_{\tau}=0$ , como $A_{\tau}$ es no negativo.