He estado trabajando con una convexidad de ajuste para una tasa de interés de la rentabilidad y la siguiente pregunta vino a mí:
El problema habitual que da lugar a la convexidad de ajuste de la que me estoy refiriendo es como sigue:
Tener en cuenta una serie de fechas,
\begin{align*} 0 \leq t_0 \leq T_s < T_p < T_e, \end{align*}
Donde $T_p$ es el momento de pago, $T_s$ es el momento cuando la tasa de interés que se observa y $T_e$ es el momento donde el interés de la velocidad de avance de los extremos.
Si el pago fue a las cinco de precio en vez de $T_p$, uno podría calcular la expectativa sobre la medida $Q_{T_p}$, de la siguiente manera:
\begin{align*} P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\big). \end{align*}
Cambiando ahora de la medida $Q_{T_p}$ a la medida natural $Q_{T_e}$ induciría un plazo adicional en la expectativa de que nos llevaría a la convexidad de ajuste:
\begin{align*} &\ P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\big) \\ =&\ P(t_0, T_p)E^{T_e}\Big(\frac{dQ_{T_p}}{dQ_{t_e}}L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\\ =&\ P(t_0, T_p)E^{T_e}\Big(\frac{P(t_0, T_e)}{P(t_0, T_p)P(T_p, T_e)} L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\frac{1}{P(T_p, T_e)} L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_p, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\big(1+ \Delta_p^e L(T_s, T_p, T_e) \big) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big) \end{align*}
Ahora, ¿qué pasa si la secuencia de la fecha fue así:
\begin{align*} 0 \leq t_0 \leq T_s < T_e < T_p, \end{align*}
Con el pago en $T_p$ después de que la tasa de interés plazo termina. Sería un cambio de la medida y ajuste de ser necesario para el precio que el pago? Me gustaría pensar que si ese es el caso, sería algo como esto:
\begin{align*} &\ P(t_0, T_p)E^{T_p}\big(L(T_s, T_s, T_e) \mid \mathcal{F}_{t_0}\big) \\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(P(T_e, T_p) L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\\ =&\ P(t_0, T_e)E^{T_e}\Big(\frac{1}{1+ \Delta_e^p L(T_e, T_e, T_p)} L(T_s, T_s, T_e)\mid \mathcal{F}_{t_0}\Big)\\ \end{align*}
Pero no veo cómo un cambio de la medida con la misma lógica como en el caso anterior podría inducir a este término. Por otro lado, podría ser posible que, dado que el pago se realiza después de $T_e$ no tiene mucho sentido hacer el ajuste desde el período de interés es más (en teoría) y el precio de la recompensa de hasta $T_e$ y tal vez de descuento de $T_p$.
Espero que me hice claro,
Mucho ayuda apreciada
