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Verificación de la identidad de una ecuación de la fórmula de Black Scholes

Acabo de empezar a trabajar con la fórmula de Black Scholes con ayuda del libro Financial option valuation de Higham. Aparentemente es posible derivar la siguiente función:

$\log(\frac{SN'(d_1)}{e^{-r(T-t)}EN'(d_2)}) = 0$

De la fórmula de Black scholes:
$C(S,t)=SN(d_1)-Ee^{-r(T-t)}N(d_2)$

He estado dando vueltas pero estoy atascado. Aquí es donde he llegado hasta ahora, ¿sabes dónde me estoy equivocando?

$\log(\frac{SN'(d_1)}{e^{-r(T-t)}EN'(d_2)}) = \log(SN'(d_1))-\log(e^{-r(T-t)}EN'(d_2))=0$

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$N'$ es la derivada de la fdc normal, ¿verdad? ¿Qué pasa si se conecta?

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Sí, $N'$ es la derivada de una CDF normal. Así que se podría reescribir como $N'(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}$ Pero, ¿qué quiere decir con "enchufar"?

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Sigue con la sustitución, ya verás.

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otto.poellath Puntos 1594

Intento completar lo que Richard dejó para la segunda parte: \begin{align*} \exp(-r(T-t))E\, N'(d_2) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-r(T-t))E\, \exp\left(-\frac{1}{2}d_2^2\right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-r(T-t))E\, \exp\left(-\frac{1}{2}\big(d_1-\sigma\sqrt{T-t}\,\big)^2\right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-r(T-t))E\\ &\qquad\qquad \exp\left(-\frac{1}{2} d_1^2 -\frac{1}{2}\sigma^2 (T-t) + d_1 \sigma\sqrt{T-t}\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-r(T-t))E\\ &\qquad\qquad \exp\left(-\frac{1}{2} d_1^2 +\ln(S/E) + r(T-t)\right)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} S \, \exp\left(-\frac{1}{2}d_1^2\right)\\ &= SN'(d_1). \end{align*} Eso es, \begin{align*} \ln\frac{SN'(d_1)}{\exp(-r(T-t))E\, N'(d_2)} = 0. \end{align*}

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+1...mejor con d1 y d2...

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scottishwildcat Puntos 146

El numerador es $$ S N'(d_1) = S \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp(-1/2 d_1^2) = \\ S \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp\left(- \frac12 \left(\log(S/E)+ (r + \frac12 \sigma^2(T-t)) \right)^2 / \sigma^2 (T-t) \right) $$ el denominador es: $$ \exp(-r (T-t)) E N'(d_2) = \\ E \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp\left(- \frac12 \left(\log(S/E)+(r- \frac12 \sigma^2(T-t)) \right)^2 / \sigma^2 (T-t) -r(T-t) \right). $$ Ahora que pasa si ampliamos el cuadrado, igualamos exp y log y si entonces nominador y denominador son iguales obtenemos el resultado.

EDIT: No he terminado el cálculo. Pero el latex de arriba es demasiado para un comentario. Tal vez usted puede hacer el cálculo. No es tan claro para ver si la afirmación es cierta ...

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