Aversión constante al riesgo relativo

Question

La pregunta:

Considere a una persona con una constante aversión al riesgo relativo p.

a) Supongamos que la persona tiene una riqueza de 100.000 y se enfrenta a una apuesta en la que gana o pierde x con iguales probabilidades. Calcule la cantidad que pagaría para evitar la apuesta, para varios valores de p (digamos, entre 0,5 y 40), y para x=100, x=1000, x=10.000 y x= 25000. Para grandes apuestas, ¿parecen razonables los grandes valores de p? ¿Qué pasa con las apuestas pequeñas?

b) Supongamos que p > 1 y que la persona tiene riqueza w. Supongamos que se le ofrece una apuesta en la que pierde x o gana y con iguales probabilidades. Demuestra que rechazará la apuesta sin importar cuán grande sea y si p >= (log(0.5)+log(1-x/w))/log(1-x/w).

No estoy seguro de por dónde empezar con esto. ¿Estoy resolviendo para la prima de riesgo y multiplicando por w?

Sé que para alguien con utilidad CRRA u(w)= (1/(1-p))w^(1-p) y que un individuo pagará pi(w) para evitar la apuesta si u((1-pi)w)=E[u(1+epsilon tilda)w)]. Pero no estoy seguro de cómo aplicar esta información para resolver la cuestión. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Si tiene $p=0.5$ Por ejemplo: $U(w)=ln(2w)$

¿Por qué? La aversión relativa al riesgo viene dada por

$$RRA=\frac{-wU''(w)}{U('w)}=\frac{-w*(-1/4w^2)}{1/2w}=0.5$$

Ahora puedes aplicar tu fórmula.

por ejemplo: $x= 10000$ y $\pi=0.5=1-\pi.$ entonces la utilidad esperada es igual a

$EU(x,w)=0.5*ln(2*(w+x))+0.5*ln(2*(w-x))=0.5ln(220000)+0.5ln(180000)$

quieres saber $RP:Risk~premium$

por lo que hay que resolver $U(w-RP)=EU(x,w)=0.5ln(220000)+0.5ln(180000)$

o $ln(200000-2RP)=12.20$

de lo que se deduce que $$RP=\frac{200000 -e^{12,2}}2=501.25$$

que es la cantidad que el inversor está dispuesto a pagar para evitar la apuesta.