¿Por qué las probabilidades del mundo real no afectan al precio de una llamada en un modelo binomial de un paso?

Question

Dudé un poco en publicar esta pregunta porque parece muy básica... pero no fui capaz de averiguarlo por mi cuenta.

Digamos que montamos un árbol binomial de un solo paso con $S_0=100$ , $S_u=110$ y $S_d=90$ donde $S_u$ y $S_d$ son las posibilidades de subir y bajar el precio de las acciones en el momento $T=1$ . Deje que $K=100$ ser el precio de huelga de una llamada, y $r=10%$ ser el tipo de interés libre de riesgo continuamente compuesto.

Utilizando un portafolio de réplica (con alguna cantidad $ \Delta $ de las acciones y el dinero prestado), encuentro que el precio de la llamada es $c_0 = 9.28\$$ ( $ \Delta =0.5$ ).

Ahora entiendo que no necesito saber cuáles son las probabilidades del mundo real (de $S_u$ y $S_d$ ), ya que la cartera que se replica... replica el pago de la opción sin importar el resultado.

Pero sólo por diversión, digamos $Pr(S_1=S_u)=1\%$ y $Pr(S_1=S_d)=99\%$ en cuyo caso, en promedio, la llamada en el momento 1 valdría 0,01*10 = 0,1$.

¿Cómo podría alguien estar dispuesto a pagar 9,28 dólares por eso?

Estoy bastante seguro de que me estoy perdiendo algo muy básico, espero que alguien pueda explicarme qué es.

Answer 1

Es una pena que no muestre en su pregunta cómo llega a su valor para $c_0$ pero la idea es que construyas una cartera $X_0 = \Delta S_0 - \lambda$ y se deducen los valores de $\Delta$ y $\lambda$ para que $X_1 = c_1$ tanto en el escenario de subida como en el de bajada. Entonces, debido a la ley de un precio, $X_0 = c_0$ .

Así que para nosotros $X_1 = \Delta S_1 + (1+r) \lambda$ y queremos que sea igual a $\max(S_1 - K, 0 )$ tanto en el caso de la subida como en el de la bajada:

$$ \Delta S_u + (1+r)\lambda = \max(S_u - K, 0 )$$ $$ \Delta S_d + (1+r)\lambda = \max(S_d - K, 0 )$$

Esto da como resultado (utilizando los valores de $S_d$ , $S_0 = K$ y $S_u$ ):

$$ \Delta S_u - \Delta S_d = \max(S_u - K, 0 ) - \max(S_d - K, 0 ) = S_u - K$$ $$ \Delta = \frac{ S_u - K }{S_u - S_d} = \frac{ 10}{20}=50\% $$

Introduciendo esto en la segunda ecuación:

$$ 50\% \cdot S_d + (1+r)\lambda = \max(S_d - K, 0 ) = 0$$

$$\lambda = 50\% \cdot -\frac{S_d}{1+r} = -40.91$$

Esto significa que, comprando el 50% de la acción en el momento cero y tomando prestados 40,91 dólares en el mercado monetario en el momento, replicará exactamente el pago de una opción de compra en el momento 1. No has mencionado las probabilidades en absoluto aquí, son completamente irrelevantes.

El valor de la cartera de replicación en el momento 0 es:

$$X_0 = \Delta S_0 - \lambda = 50\% \cdot S_0 - 40.91 = 50-40.91 = 9.09 =c_0$$

y, por lo tanto, porque la celebración de $X$ es exactamente lo mismo que mantener la llamada en sí, ambos deben tener el mismo valor.

Si algún operador de opciones acepta vender esa opción de compra por menos de \$9.09, say \$ 2,00, comprar la opción de compra y vender $X$ , sabes que hagas lo que hagas con la llamada perderás en $X$ Pero el beneficio a tiempo 0 de 9,09 - 2,00 = 7,09 está bloqueado y no cambiará haga lo que haga el mercado.

En términos de probabilidad, lo único que se necesita es estar de acuerdo en que $\mathbb{P}(S_1=S_u) > 0$ , $\mathbb{P}(S_1=S_u) > 0$ y $\mathbb{P}(S_1 \in \{S_u, S_d\} ) = 1$ .

Answer 2

"Pero sólo por diversión, digamos que Pr(S1=Su)=1% y Pr(S1=Sd)=99%, en cuyo caso, de media, la llamada en el momento 1 valdría 0,01*10 = 0,1$.

¿Cómo puede alguien estar dispuesto a pagar 9,28 dólares por eso?

Estoy seguro de que me falta algo muy básico, espero que alguien pueda explicarme qué es".

¿Cómo podría alguien pagar 100 por las acciones dadas estas probabilidades? No parece que lo pongas en duda. Y este es el vínculo "básico" que te falta. Las probabilidades del mundo real ya han sido incorporadas en la fijación de precios del spot (vagamente hablando). Los derivados se valoran en relación con la acción: si la acción es poco intuitiva, como en tu ejemplo, los derivados también parecerán estúpidos.

Answer 3

La respuesta a esta pregunta tiene que ver con dos cosas:

(i) la aversión al riesgo; y

(ii) el precio actual de las acciones, $S_0$ .

En resumen, el precio actual de las acciones refleja la aversión al riesgo del inversor medio. Por ejemplo, si se calcula la media ponderada de los dos precios futuros de las acciones (utilizando las probabilidades), se obtiene el precio neutral del riesgo de las acciones, que no suele ser el mismo que el precio actual de las acciones, $S_0$ que se ve en el árbol binomial. La razón es que el precio actual de las acciones refleja la aversión al riesgo del inversor medio.

Dicho de otro modo, supongamos que cambiamos las probabilidades de, por ejemplo, 50/50 a 60/40 (60% de probabilidad para el nodo superior). Esto se reflejará inmediatamente en el precio actual de las acciones, como un aumento de $S_0$ . Esto, a su vez, aumentará el precio de la cartera de réplica y, por tanto, también el precio de la opción de compra. (Tenga en cuenta que no puede cambiar las probabilidades sin permitir que cambie el precio actual de las acciones. Si piensa en ello durante un segundo, le resultará obvio).

Conclusión: El precio actual de las acciones ya contiene información sobre las probabilidades y, por tanto, no las necesitamos para valorar las opciones.

Answer 4

Tu escenario es imposible porque te falta la hipótesis de no arbitraje (no hay almuerzo gratis).

Cartera de réplicas:

-Comprar 0,5 acciones y poner en corto 1 call :

Pagar arriba : $ 0.5*110-10 = 45$

Pago por abajo : $ 0.5*90=45 $ (la llamada no se ejerce)

Valor actual de la cartera = 45 / (1,1) = 40,91

Entonces el precio de compra es de 9,09 (véase la respuesta de @SRKX).

Coste inicial de la cartera : $ 50 - 9.09 = 40.91 $

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¿Cómo puede alguien estar dispuesto a pagar 9,09 dólares por eso?

Porque, no importan las probabilidades reales, a un precio diferente hay posibilidades de almuerzo gratis.

• Si el precio de la llamada es superior a 9,09 $, digamos 10 dólares el inversor puede crear la cartera de réplica por menos de 40,91 a 40 (50-10=40) tomando prestado 40. Al vencimiento la cartera vale 45 y él devuelve sólo 44 dólares(40*1,1). Recibirá un almuerzo gratis de 1 dólar.

• Si el precio de la llamada es inferior a 9,09 $, digamos 9 dólares el inversor vende en corto la cartera a su coste inicial 41 dólares (50-9) y puede invertir 40,91 a la tasa libre de riesgo. Al vencimiento recibirá 45 dólares (40,91*1,1), con lo que cubrirá el precio de la cartera y obtendrá un beneficio inicial gratuito (41-40,91=0,09).

En ambos casos no hay riesgo ni inversión inicial, por lo que se viola la hipótesis de no arbitraje. Las probabilidades reales no juegan ningún papel.

Answer 5

Para utilizar este método de valoración de las opciones, asumimos una probabilidad neutra al riesgo para calcular la expectativa de pago y la descontamos con la tasa libre de riesgo para llegar al valor final. Si se utiliza la probabilidad del mundo real para la expectativa, tenemos que descontar utilizando la tasa de descuento del mundo real (desconocida). En cualquier caso, no podemos mezclar medidas del mundo real con medidas neutrales al riesgo. Por lo tanto, no se pueden tomar las probabilidades reales para calcular una expectativa de pago de 0,1 y descontar con una tasa libre de riesgo. Como casi siempre utilizaremos la tasa libre de riesgo para descontar, no nos importa la probabilidad del mundo real (a menos que sea 0)