Si Y=K+C, ¿por qué el valor de una unidad marginal del capital es el mismo que el del valor de una unidad marginal de salida?

Question

En un modelo simple de bienestar optimización dinámica con el recurso natural no renovable, donde:

$$ \dot S_t = -R_t $$ $$ \dot K_t = Q(K_t,R_t)-C_t $$

uno de los de primer orden de la condición es que $P_t=\omega_t Q_{R}$, donde $P_t$ es el precio sombra del recurso natural stock $S$, $Q_{R}$ es el producto marginal de los recursos naturales y $\omega_t$ es el precio sombra del capital humano, stock $K$.

En la Perman et al. (2011) "de los recursos Naturales y economía ambiental" de esta ecuación se explica como "el valor marginal (o precio sombra) de los recursos naturales del archivo debe ser igual al valor del producto marginal de los recursos naturales". En particular, $\omega_t$ es redefinido como el valor de una unidad de salida, con la justificación de que las unidades de los resultados y de las unidades de capital son, en efecto, idénticos en esta economía entre la ruta más óptima, ya que cualquier resultado que no se consume, se agrega a la capital.

Es esta redefinición que no entiendo.

Answer 1

Se trata de un modelo de un solo bien, es decir, la producción es de un bien que puede consumirse o añadirse al capital. El problema de optimización dinámica consiste en maximizar el valor actual descontado de la utilidad, siendo ésta una función del consumo que cumple las condiciones estándar $U_C > 0$ y $U_{CC} < 0$ .

Perman y otros identificar la segunda de las dos variables de estado como capital $K$ . Ahora bien, una variable de estado figura en el enunciado de un problema de optimización dinámica en un número limitado de formas:

1. Una ecuación de estado, en este caso $dK_t/dt = Q(K_t,R_t) – C_t$ .
2. Una condición inicial, en este caso $K_{t=0} = K_0$ .
3. Una condición terminal, en este caso por implicación que (suponiendo un infinito horizonte de planificación) $K_t 0$ como $t \infty$ .

Supongamos que, en lugar de ello, especificáramos la segunda variable de estado como el stock del único bien, digamos $G_t$ . ¿Resultaría esto en algún cambio esencial de 1-3 arriba, que cambiaría la solución del problema? Lo haría, por supuesto, si tenemos en cuenta las existencias del bien destinado al consumo, pero que aún no se ha consumido, por ejemplo, si está empaquetado, transportado o en las estanterías a la espera de ser comprado. Pero en un modelo sencillo como éste, probablemente querremos ignorar estas complicaciones. Supongamos, por tanto, que para la parte de la producción que se consume, el consumo es inmediato. En ese caso, el stock del bien consistiría en su totalidad en capital, y podríamos reescribir 1-3 sustituyendo $K$ por $G$ en todo.

Esta sustitución no afectaría al fondo del problema, por lo que se obtendría la misma solución óptima tanto si hacemos la sustitución como si no. En particular, la trayectoria temporal de $\omega_t$ consistente con la solución óptima sería la misma, tanto si $\omega_t$ se considera el precio sombra del capital o el precio sombra del bien. Por lo tanto, a lo largo de una trayectoria óptima $\omega_t$ es también el valor de una unidad de producción del bien.