Valoración del modelo Cox-Ross-Rubinstein

Question

Tenemos un modelo Cox-Ross-Rubinstein con parámetros $u$ ("arriba"), $d$ ("abajo") , $r$ (tipo de interés) y $q$ (probabilidad de martingala equivalente) $(q=(1+r-d)(u-d)^{-1})$ . Tenemos un crédito contingente con pago $$X=S_1(N)^c$$ donde $S_1(N)$ es el precio final, y $c$ es un número entero positivo. Necesito demostrar que la valoración inicial de una demanda es: $$\pi_X(0) = S_1(0)^c(1+r)^{-N}\left(u^cq+d^c(1-q)\right)^N$$

Sé que $$\begin{align} \pi_X(0) & = E_Q[\frac{X}{S_0(N)}] \\ & = (1+ r)^{-N}E_Q[S_1(N)^c] \\ & = (1+ r)^{-N} \sum_{j=0}^N(S_1(0)u^jd^{N-j})^c{N \choose k}q^j(1-q)^{N-j} \end{align}$$ y luego el $S_1(0)$ se puede sacar lo que me da la primera parte, pero luego no estoy muy seguro de cómo proceder. No veo cómo va a desaparecer la parte "T elige k", o cómo podemos deshacernos del signo de la suma.

Answer 1

Había un error en tu valor esperado, que he corregido: las probabilidades y el coeficiente binomial (el "N elige k") no deben elevarse a la potencia $c$ . Con esa corrección, es una simple aplicación de la Teorema del binomio : $$\begin{eqnarray} \left(u^cq+d^c(1−q)\right)^N&=&\sum_{j=0}^N {N \choose j}(u^cq)^{j}(d^c(1−q))^{N-j}\\ &=&\sum_{j=0}^N {N \choose j} \left(u^j d^{N-j}\right)^c q^j (1-q)^{N-j} \end{eqnarray}$$