Suponga que la constante de tasa de interés $r$ y un stock al precio actual de $S_0$ que no paga dividendos (se asume que $S_t\ge0$). Cuando el precio de las acciones golpea la barrera de los $B$ (donde $B<S_0$) usted recibir \$$$ 1 y la derivada iba a terminar. Este derivado no tiene una fecha de vencimiento. $S_t$ de la siguiente manera geométrica el movimiento Browniano con la constante volatilidad de los $\sigma$.
¿Cuál es el valor presente de este derivado?
Como a menudo es el caso, por lo general, hay dos estrategias de solución aquí.
(Probabilístico) Que explícitamente a resolver el factor de descuento en el primer paso del tiempo $\nu$ de $S$ a el nivel de $B$ bajo el neutrales al riesgo probabilidad de medida $\mathbb{P}^*$, es decir, \begin{ecuación} V_0 = \mathbb{E}_{\mathbb{P}^*} \left[ e^{-i \nu} \derecho]. \end{ecuación}
(Ecuación diferencial) El valor de la opción $V$ satisface la educación a distancia \begin{ecuación} \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\mathrm{d} V^2}{\mathrm{d} S^2} + r S \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} S} - r V = 0 \end{ecuación} objeto del contrato específico de las condiciones de contorno.
Voy a esbozar el segundo enfoque aquí y se refieren, por ejemplo, el Capítulo 9 en Wilmott (2006) para más detalles. Ver, por ejemplo, este post del blog de una solución para el finito de madurez American digital llamada de valoración de opciones problema con el primer enfoque. Con el fin de obtener la solución para la perpetua caso, basta con tomar el límite de $T \rightarrow \infty$. La solución para el puesto es totalmente análogo.
El Enfoque de la educación a distancia
La educación a distancia puede ser reorganizado para
\begin{ecuación} S^2 \frac{\mathrm{d} V^2}{\mathrm{d} S^2} + \lambda S \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} S} - \lambda V = 0, \end{ecuación}
donde $\lambda = 2r / \sigma^2$. La ecuación de Euler-Cauchy tipo y por lo tanto tratar la solución
\begin{ecuación} V(S) = S^\beta \end{ecuación}
y obtener
\begin{ecuación} \beta (\beta - 1) S^\beta + \beta \lambda S^\beta \lambda S^\beta = 0. \end{ecuación}
Esta ecuación se cumple para todos los valores de $S$ si
\begin{ecuación} \beta^2 + \beta (\lambda - 1) - \lambda = 0. \end{ecuación}
La solución para que $\beta$ rendimientos
\begin{ecuación} \beta_\pm = \frac{1}{\sigma^2} \left( -\left( r - \frac{1}{2} \sigma^2 \derecho) \pm \left( r + \frac{1}{2} \sigma^2 \derecho) \derecho) \end{ecuación}
y nos damos cuenta de que $\beta_+ = 1$ y $\beta_- = -\lambda$. La solución general de la educación a distancia está dada por
\begin{ecuación} V(S) = c_ - S^{-\lambda} + c_+ S, \end{ecuación}
donde $c_\pm$ dependen de las condiciones de contorno del contrato. En el caso de una opción put, tenemos la parte superior de la condición de límite $\lim_{S \rightarrow \infty} V(S) = 0$, lo que implica que $c_+ = 0$. El valor de la condición correspondiente en el límite inferior es de $U(B) = 1$ y por lo tanto obtener $c_- = B^\lambda$. En consecuencia,
\begin{ecuación} V(S) = \left( \frac{S}{B} \derecho)^{-\lambda}. \end{ecuación}
Referencias
Wilmott, Pablo (2006) Paul Wilmott en Finanzas Cuantitativas, Vol. 1: Wiley, 2ª edición.
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
