En una aplicación de Ito lema

Question

Asumir que la instantánea rendimientos generados por el continuo tiempo de martingala:

$$dp_t = \sigma_t dW_t$$

donde $W_t$ denota un estándar Weiner proceso y Una vuelta en el mismo día se denota por $r_{t+1} = p_{t+1} - p_t$. Entonces, Por el lema de Ito tenemos:

$$E_t (r_{t+1}^2) = E_t \Bigg( \int_0^1 r_{t + \tau}^2 d \tau \Bigg) = E_t \Bigg( \int_0^1 \sigma_{t + \tau}^2 d \tau \Bigg) = \int_0^1 E_{t} \Bigg( \sigma_{t + \tau}^2 \Bigg) d \tau$$

donde $E_t$ denota esperanza condicional en el tiempo t.

Estoy muy oxidado con Ito lema de aplicaciones y no parece recordar donde $d \tau$ que viene de. Haría con cualquier mente la explicación de estos 3 igualdades?

Answer 1

Basado en Ito isometría, $$\begin{align*} E_t (r^2_{t+1}) &= E_t \bigg(\int_t^{t+1} \sigma_s dW_s \int_t^{t+1} \sigma_s dW_s\bigg)\\ &= E_t \bigg(\int_t^{t+1} \sigma_{\tau}^2 \,d\tau\bigg) \\ &= E_t\bigg(\int_0^1 \sigma_{\tau+t}^2 \,d\tau\bigg) \\ &=\int_0^1 E_t\big(\sigma_{\tau+t}^2\big) \,d\tau. \end{align*}$$ La identidad $$\begin{align*} E_t (r^2_{t+1}) &= E_t\bigg(\int_0^1 r_{\tau+t}^2 \,d\tau\bigg) \end{align*}$$ es descuidado. Es mejor escribir como $$\begin{align*} E_t (r^2_{t+1}) &= E_t\bigg(\int_0^1 d\langle r_{\tau+t}, r_{\tau+t}\rangle\bigg), \end{align*}$$ donde $\langle r_{\tau+t}, r_{\tau+t}\rangle$ es la variación cuadrática.