Equivalencia de las definiciones de continuidad de las preferencias

Question

Tenemos dos definiciones de la continuidad de las preferencias:

Def 1: $\succcurlyeq$ es continua si para cualquier secuencia $\{x^n\} \subset X$ y $\{y^n\} \subset X$ entonces $n \in \mathbb{N}$ tal que,

• $\forall n, \quad x^n \succcurlyeq y^n$
• $\lim_{n \rightarrow \infty} x^n = x, \quad \lim_{n \rightarrow \infty} y^n = y \quad (\text{where $ x, y \Nen X) $}$

entonces $x \succcurlyeq y$

y

Def 2: $\succcurlyeq$ es continua si siempre que $x \succ y$ , $\exists \ B_x, \ B_y$ , bolas abiertas alrededor $x, y$ , de tal manera que $\forall \ x' \in B_x, \ y' \in B_y$ entonces tenemos $x' \succ y'$ .

Demuestre que las siguientes definiciones son equivalentes entre sí.

Answer 1

Queremos demostrar que para $\succcurlyeq$ en $X$ , Def 1 $\iff$ Def 2

$\boxed \Longrightarrow$

Supongamos que $\succcurlyeq$ es continua por Def 1 .

Digamos que $x \succ y$ . Denotemos nuestras bolas abiertas como $B(x, r)$ un balón abierto en torno a $x$ de radio $r$ . Supongamos que $\forall n, \ \exists \ x^n \in B(x, \frac{1}{n}), \ y^n \in B(y, \frac{1}{n})$ tal que $y^n \succcurlyeq x^n$ . Pero entonces hemos construido $\{x^n\} \rightarrow x$ y $\{y^n\} \rightarrow y$ y por Def 1 , $y \succcurlyeq x$ , lo cual es una contradicción.

$\boxed \Longleftarrow$

Supongamos que $\succcurlyeq$ es continua por Def 2 .

Tomemos las secuencias ${x^n} \subset X$ y ${y^n} \subset X$ donde $\forall n, \quad x^n \succcurlyeq y^n$ y $\lim_{n \rightarrow \infty} x^n = x, \quad \lim_{n \rightarrow \infty} y^n = y \quad (\text{where $ x, y \Nen X) $}$ para $n \in \mathbb{N}$ ,

PERO $x \succcurlyeq y$ es falso en lugar de verdadero. Queremos demostrar que esto lleva a una contradicción.

Si $x \succcurlyeq y$ es falso, (por lo que $y \succ x$ ) entonces $\exists B_x, B_y$ tal que $\forall y' \in B_y, x' \in B_x$ tenemos $y' \succ x'$ . Porque $\{x^n\} \rightarrow x, \{y^n\} \rightarrow y$ existe $N$ lo suficientemente grande como para que $\forall n>N$ tenemos $y^n \in B_y, x^n \in B_x$ .

Así, $\forall n > N$ tenemos $y^n \succ x^n$ que se contradice con $\forall n, \ x^n \succcurlyeq y^n$ .