Función continua en la microeconomía

Question

En la siguiente imagen de dos preferencia relaciones se definen -

Ist preferencia relación define lexicográfica relación. A pesar de que sabemos que lexicográfica preferencias no tienen función de utilidad. Están definidos en un punto, así que no podemos definir una función de utilidad - es discontinuo. Pero, ¿cómo podemos mostrar que en términos de la parte superior e inferior del contorno conjunto cerrado?

Por qué la segunda es continua?

Nota - algunas terminologías -

Una relación binaria >~ en el espacio métrico X es continua si, para todo x en X, la parte superior e inferior del contorno de los conjuntos, { y en X : y > ~ x} y {y en X : x >~ y}, respectivamente, están cerradas.

La parte superior del contorno del conjunto de x es >~ (x) = {y en X : y >~ x}

El contorno inferior conjunto de x es >~ (x) = {y en X : x>~ y}

Answer 1

Tomar $y_1=y_2=1$. Como muestra la siguiente figura, la parte inferior izquierda del segmento de la frontera de la parte superior del contorno del conjunto de la preferencia lexicográfica está abierto.

Answer 2

El axioma de continuidad puede ser interpretado de la siguiente manera: Supongamos $(\textbf{x}^n)$ y $(\textbf{y}^n)$ ser dos de la secuencia de los bienes, tales que $(\textbf{x}^n)$ converge a $\textbf{x}$ y $(\textbf{y}^n)$ a $\textbf{x}$. A continuación, la continuidad axioma dice que si $\forall n$ $(\textbf{x}^n)$$\succsim$$(\textbf{y}^n)$, entonces $\textbf{x}$$\succsim$$\textbf{y}$ es también cierto(aquí, $(\textbf{x}^n)$,$(\textbf{y}^n),\textbf{x}, \textbf{y} \in\mathbb{R_+^n} $). Esta norma es equivalente al hecho de que la parte superior del contorno del conjunto y el contorno inferior de conjunto es cerrado (creo que de $(\textbf{x}^n)$ y $(\textbf{y}^n)$ a ser secuencias convergentes de la parte superior e inferior del contorno establece, respectivamente,que yo.e;$(\textbf{x}^n)\en (parte superior del contorno)$ y $(\textbf{y}^n)\en (contorno inferior)$, $\forall n$. A continuación, las secuencias deben converger dentro de sus respectivos conjuntos).

La declaración anterior, sin embargo, no es cierto para el lexicográfica preferencias. A ver, considere que cualquiera de los dos paquetes de $\mathbb{R_+^2} $representado por $((1/2)^n,0) \& (0,k)$ donde $k>0$. Es de rutina para verificar que el paquete $((1/2)^n,0)$ converge a $(0,0)$. Ahora, de acuerdo con el concepto de preferencia lexicográfica(espero que estés familiarizado con él), $((1/2)^n,0)\succsim(0,k)$. Sin embargo, las preferencias cambian a medida que el paquete de $((1/2)^n,0)$ converge a $(0,0)$i.e; ahora el paquete de $(0,k)\succsim(0,0)$,como n tiende a un valor infinito). Por lo tanto, lexicográficos preferencias viola el axioma de continuidad.