La imagen siguiente es un extracto tomado de Myerson y Satterthwaite 1983 papel de Mecanismos Eficientes para Bilaterales de Comercio:
Yo sé lo que el teorema es todo, todo lo que necesito es un poco de ayuda con las integrales (especialmente en la segunda igualdad de signo).
Estoy suponiendo que por "en [el] segundo signo de igualdad" que significa la traducción de la parte derecha de la primera igualdad de signo a la derecha de la segunda igualdad de signo. Esto puede ser manejado mediante el análisis de cada integrante por separado.
Observe que en la primera (doble) de la integral del lado izquierdo del interior integral no varía con $v_2$, por lo que
$$\int_{a_1}^{\min\{v_2,b_1\}} \left[ v_2 f_2\left( v_2 \derecho) + F_2\left( v_2 \derecho) - 1 \right] f_1\left( v_1 \derecho) dv_1 \\\hspace{3cm}= \left[ v_2 f_2\left( v_2 \derecho) + F_2\left( v_2 \derecho) - 1 \right] \int_{a_1}^{\min\left\{ v_2, b_1 \derecho\}} f_1\left( v_1 \derecho) dv_1.$$
El límite superior de la mano derecha de la integral es igual a la tapa de la CDF, por lo que $\int_{a_1}^{\min\{ v_2, b_1 \}} f_1( v_1 ) dv_1 = F_1( v_2 )$, tomando como dado que $F_1( x ) = 1$ para todo $x \geq b_1$. En términos de la ecuación original de este da
$$ \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{\min\{v_2,b_1\}} \left[ v_2 f_2\left( v_2 \derecho) + F_2\left( v_2 \derecho) - 1 \right] f_1\left( v_1 \derecho) dv_1 dv_2 \\\hspace{3cm}= \int_{a_2}^{b_2} \left[ v_2 f_2\left( v_2 \derecho) + F_2\left( v_2 \derecho) - 1 \right] F_1\left( v_2 \derecho) dv_2. \hspace{2cm} \text{(Plazo L)}$$
Observe que el interior integrando en el segundo (el doble) de la integral se puede escribir como
$$v_1 f_1\left( v_1 \derecho) + F_1\left( v_1 \right) = \frac{d}{dv} \left[ v F_1\left( v \derecho) \derecho]_{v = v_1}.$$
Desde $a_1 F_1( a_1 ) = 0$ (porque $F_1( a_1 ) = 0$) y $x F_1( x ) = x$ para todo $x \geq b_1$, esto da
$$\int_{a_2}^{b_2} \int_{a_1}^{\min\left\{ v_2, b_1 \derecho\}} \left[ v_1 f_1\left( v_1 \derecho) + F_1\left( v_1 \derecho) \right] dv_1 f_2\left( v_2 \derecho) dv_2 \\ \hspace{3cm} = \int_{a_2}^{b_2} \min\left\{ v_2 F_1\left( v_2 \derecho), b_1 \derecho\} f_2\left( v_2 \derecho) dv_2. \hspace{2cm} \text{(Término R)}$$
La segunda igualdad es de $\text{(Plazo L)} - \text{(Término R)}$.
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