Función de Densidad de probabilidad de un Proceso de Wiener Mínimo

Question

Vamos a $W_t$ ser un estándar de proceso de Wiener. Encontrar la función de densidad de probabilidad de $m_T = min_{t\[0,T ]}W_t$.

Yo sé que es la base del concepto de la reflexión principio, pero yo no estaba muy seguro sobre cómo calcular la función de densidad de Probabilidad para este.

Answer 1

En primer lugar, $m_T=\min\limits_{t\[0,T]} B_t = -\max\limits_{t\[0,T]} -B_t \desbordado{Ley}{=} -\max\limits_{t\[0,T]} B_t = -M_T$. Así, usted puede considerar la ejecución de máximo o mínimo.

Deje que $\tau$ ser un tiempo de parada y $(B_t)$ un movimiento Browniano. A continuación, \begin{align*} W_t =\begin{casos} B_t & t\leq \tau, \\ 2B_\tau - B_t & t\geq \tau, \end{casos} \end{align*} es de nuevo un estándar de movimiento Browniano (Este es el principio de reflejo).

De $a\geq 0$ y $t>0$, la reflexión principio implica que \begin{align*} \mathbb{P}[\{M_T\geq un\}] &= 2\mathbb{P}[\{B_t\geq un\}] \\ \implica \mathbb{P}[\{M_T\leq a\}] &= 2\mathbb{P}[\{B_t\leq a\}]-1 \\ &= 2\Phi\left(\frac{a}{\sqrt{t}}\right)-1. \end{align*}

Por lo tanto, la función de densidad de probabilidad de $(M_t)$ es dada por \begin{align*} f_{M_t}(x) &= \frac{\partial }{\partial x} \left(2\Phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\right)-1\derecho) \\ &= \frac{2}{\sqrt{t}}\varphi\left(\frac{x}{\sqrt{t}}\derecho) \\ &= \sqrt{\frac{2}{t\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2} \end{align*} para $x\geq0$ y $f_{M_t}(x)=0$ para $x<0$. La función es claramente no-negativa y usted puede ver fácilmente que se integra a uno.

Aquí, $\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}$ es el pdf estándar de una variable aleatoria normalmente distribuida y $\Phi$ el correspondiente cdf.