Registro de la plaza de Movimiento Browniano Geométrico

Question

Cual de los dos cálculos a continuación, es malo? Por qué?

$dF = \sigma F dW$

Primero:

$dF^2 = (F^2)' dF + \frac{1}{2}(F^2)"en el dF.dF$

$dF^2 = 2F dF + dF.dF$

$dF^2 = 2 \sigma F^2 dW + \sigma^2 F^2 dt$

$\frac{dF^2}{F^2}=2\sigma dW + \sigma^2 dt$

$d \ln F^2=2\sigma dW + \sigma^2 dt$

O

Segundo:

$d \ln F^2 = (\ln F^2)' dF + \frac{1}{2}(\ln F^2)" en el dF.dF$

$d \ln F^2 = \frac{2F}{F^2} dF + \frac{1}{2} (\frac{2F}{F^2})' dF.dF$

$d \ln F^2 = \frac{2}{F} dF +\frac{1}{2} (\frac{2}{F})' dF.dF$

$d \ln F^2 = \frac{2}{F} dF +\frac{1}{2} \frac{-2}{F^2} dF.dF$

$d \ln F^2 = \frac{2}{F} dF - \frac{1}{F^2} dF.dF$

$d \ln F^2 = 2\sigma dW - \sigma^2 dt$

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Sólo para el contexto, estoy tratando de entender el cálculo de Arears de Intercambio de fijación de precios. Así, necesario para calcular la expectativa de la "Plaza de la velocidad de Avance".

El libro (Brigo Mercurio) dice $E(F(T)^2)=F(0)^2 e^{\sigma^2 T}$

Mis cálculos anteriores (Segundo) me dice que $E(F(T)^2)=F(0)^2 e^{-\sigma^2 T}$

Estoy atrapado y no puede explicar el signo "-" antes de que $\sigma^2 dt$ que veo.

Ref: Brigo y Mercurio "de las Tasas de Interés de los Modelos de la Teoría y la Práctica" Segunda Edición, Parte V, Capítulo 13, la Ecuación 13.3

Answer 1

La segunda solución es la correcta, así que la solución en t es:

$F_t^2=F_0^2e^{2 \sigma W_t-\sigma^2}$

Ahora se aplican las expectativas de ambos lados.

$ E\left[F_t^2\derecho]=F_0^2 \, E\left[e^{2 \sigma W_t-\sigma^2}\right]$

El plazo en que el exponente es sólo Gaussiano así que vamos a llamar X: $X=2 \sigma W_t-\sigma^2t$

Es media y la varianza son:

$E[X]=-\sigma^2t$

$V[X]=4 \sigma^2t$

Y, por lo tanto: $E[X]+\frac{1}{2}V[X]=\sigma^2t$

Y por lo tanto: $ E\left[F_t^2\derecho]=F_0^2 \, E\left[e^{X}\derecho] =F_0^2 e^{\sigma^2}$

Para la media y la mitad de la varianza de negocios de arriba, por favor vea la discusión aquí:https://math.stackexchange.com/questions/176196/calculate-the-expected-value-of-y-ex-where-x-sim-n-mu-sigma2

Answer 2

La primera es incorrecta.

Como dije en mi comentario, que parecen estar empujando a algunos de los términos bajo la alfombra. De hecho:

$$d\ln F^2 = \frac{1}{F^2}dF^2 + \frac{1}{2}(-\frac{1}{F^4})dF^2\cdot dF^2 \; .$$

Lo que conduce a

$$d\ln F^2 = \frac{1}{F^2}dF^2 - 2\sigma^2dt \; .$$

Por tanto, con esta sustitución correcta en el primer cálculo, ambos cálculos conducen al mismo resultado.

Por el camino, $\ln F^2 = 2\ln F$. Esto le da aún más sencilla la confirmación de que esta es la fórmula correcta.

Answer 3

Sólo quiero ofrecer un enfoque alternativo para el problema. Simplemente utilicé Ito Lema. Tenemos $$ dF_t = \sigma F_t dW_t.$$ Ahora, queremos saber la dinámica de $\ln F_t^2$ (https://en.wikipedia.org/wiki/It%C3%B4%27s_lemma). Ponemos $f(t, x) = \ln x^2$ y obtener los derivados $$ \frac{\partial f(t, x) }{\partial t} = 0, \quad \frac{\partial f(t, x)}{\partial x} = \frac{2}{x}, \quad \frac{\partial^2 f(t, x)}{\partial x^2 }= -\frac{2}{x^2}$$ Sigue \begin{align*} df(t,F_t) & = \frac{\partial f(t, x) }{\partial t}dt + \frac{\partial f(t, x)}{\partial x} dF_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f(t, x)}{\partial x^2 }(dF_t)^2\\ & = 0 + \frac{2}{F_t}\sigma F_t dW_t + \frac{1}{2}\frac{-2}{F_t^2}\sigma^2F_t^2dt\\ & = 2\sigma dW_t -\sigma^2dt \end{align*}

Usted probabably lo hizo de la misma manera como I. sin Embargo, se trata también de mostrar una aplicación fácil de Ito Lema a un tal vez no tan sofisticado lector.

Answer 4

la segunda es la correcta porque se han utilizado las herramientas adecuadas para calcular $d \ln F^2$.

En la primera todo, hasta la última conclusión es correcta.

Sin embargo,

$$ \frac{dF^2}{F^2} = 2\sigma dW + \sigma^2dt $$

no implica $$ d \ln F^2 = 2\sigma dW + \sigma^2 dt. $$

Esto sólo es cierto si $F$ no sería elevado a la potencia de dos.