Prueba de la Fórmula de Hamada (Relación entre beta apalancado y beta desapalancado)

Question

La fórmula de Hamada se presenta de la siguiente manera:

$$\beta_{U}=\left[\frac{1}{1+\frac{D}{E}(1-\tau)}\right]\beta_{L},$$

donde $\beta_{U}$ y $\beta_{L}$ son los betas no apalancado y apalancado de una empresa respectivamente. $D$ es el valor de mercado de la deuda. $E$ es el valor de mercado de la equidad y $\tau$ es la tasa impositiva.

¿Podría alguien por favor proporcionar una demostración de esta fórmula? He encontrado algunas fuentes en internet, sin embargo, no son convincentes.

Gracias a todos de antemano.

Answer 1

Prueba: Recuerda que

$$\beta_{i} = \frac{\mathrm{Cov}(r_{i},r_{m})}{\mathrm{Var}(r_{m})}.$$

Ahora, los rendimientos del capital sin apalancamiento y apalancado se dan por

$$r_{U} = \frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau) - \mathrm{CAPEX} + \mathrm{Depreciation}}{E_{U}}$$ $$r_{L} = \frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau) - \mathrm{CAPEX} + \mathrm{Depreciation} + \mathrm{Deuda\ Neta} - \mathrm{Interés}}{E_{L}},$$

respectivamente.

Por lo tanto,

$$\beta_{U} = \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau) - \mathrm{CAPEX} + \mathrm{Depreciation}}{E_{U}},r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})}$$ $$\beta_{L} = \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau) - \mathrm{CAPEX} + \mathrm{Depreciation + \mathrm{Deuda\ Neta} - \mathrm{Interés}}}{E_{L}},r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})}.$$

Trabajando con la ecuación $\beta_{U}$,

$$ \begin{align} \beta_{U} &= \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau) - \mathrm{CAPEX} + \mathrm{Depreciation}}{E_{U}},r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} \\ &= \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}{E_{U}} - \frac{\mathrm{CAPEX}}{E_{U}} + \frac{\mathrm{Depreciation}}{E_{U}},r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} \\ &= \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}{E_{U}}, r_{m}\right) + \mathrm{Cov}\left(\frac{-\mathrm{CAPEX}}{E_{U}}, r_{m}\right) + \mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{Depreciation}}{E_{U}},r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} \\ &= \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}{E_{U}}, r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} + \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{-\mathrm{CAPEX}}{E_{U}}, r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} + \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{Depreciation}}{E_{U}},r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})}.\\ \end{align} $$

Dado que $E_{U}$ es el valor del capital sin apalancamiento del último año financiero, es constante. Por lo tanto,

$$ \begin{align} \beta_{U} &= \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}{E_{U}}, r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} + \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{-\mathrm{CAPEX}}{E_{U}}, r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} + \frac{\mathrm{Cov}\left(\frac{\mathrm{Depreciation}}{E_{U}},r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} \\ &= \frac{1}{E_{U}} \left[ \frac{\mathrm{Cov}\left(\mathrm{EBIT}(1-\tau), r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} - \frac{\mathrm{Cov}\left(\mathrm{CAPEX}, r_{m}\right)}{\mathrm{Var}(r_{m})} + \frac{\mathrm{Cov}\left(\mathrm{Depreciation}, r_{m}\right)}{{\mathrm{Var}(r_{m})}} \right] \\ &= \frac{1}{E_{U}} \left[\beta_{\mathrm{EBIT}(1-\tau)} - \beta_{\mathrm{CAPEX}} + \beta_{\mathrm{Depreciation}}\right]. \end{align} $$

Asumimos a continuación que la correlación entre el mercado, CAPEX, depreciación, deuda neta e intereses es $0$. Es decir, asumimos que $\beta_{\mathrm{CAPEX}} = \beta_{\mathrm{Depreciation}} = \beta_{\mathrm{Deuda\ Neta}} = \beta_{\mathrm{Interés}} = 0.$ Por lo tanto, la ecuación para beta sin apalancamiento, y por un cálculo similar, beta apalancado se dan por las siguientes fórmulas:

$$ \begin{align} \beta_{U} &= \frac{1}{E_{U}} \left[\beta_{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}\right] \implies E_{U}\beta_{U} = \left[\beta_{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}\right] \\ \beta_{L} &= \frac{1}{E_{L}} \left[\beta_{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}\right] \implies E_{L}\beta_{L} = \left[\beta_{\mathrm{EBIT}(1-\tau)}\right] \\ \end{align} $$

Igualando las ecuaciones resulta en

$$ \begin{align} E_{U}\beta_{U} &= E_{L}\beta_{L} \\ \implies \beta_{U} &= \frac{E_{L}}{E_{U}} \beta_{L}.\\ \end{align} $$

Ahora, para una empresa sin apalancamiento se sabe que:

$$ A_{U} = L_{U} + E_{U} \implies E_{U} = A_{U} - L_{U}. $$

Supongamos que los activos y pasivos de esta empresa son fijos con la excepción de capital de deuda nuevo emitido. Es decir, la empresa está apalancada y por lo tanto, $$ \begin{align} E_{L} &= \left(A_{U} + \mathrm{Escudo\ Fiscal}\right) - \left(L_{U} + D\right) \\ &= \left(A_{U} - L_{U}\right) - D + \mathrm{Escudo\ Fiscal} \\ \implies E_{L} &= E_{U} - D + \mathrm{Escudo\ Fiscal}.\\ \end{align} $$

Por lo tanto nos queda calcular el escudo fiscal. Supongamos que el costo antes de impuestos de la deuda es $k_{d}$. Por lo tanto,

$$ \begin{align} \mathrm{Escudo\ Fiscal} &= \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{k_{d}D\tau}{(1+k_{d})^{i}} \\ &= k_{d}D\tau \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{(1+k_{d})^{i}} \\ &= k_{d}D\tau \cdot \frac{1}{k_{d}} \\ \implies \mathrm{Escudo\ Fiscal} &= D\tau.\\ \end{align} $$

Por lo tanto

$$ \begin{align} E_{L} &= E_{U} - D + D\tau \\ \implies E_{L} &= E_{U} - D(1-\tau) \\ \implies E_{U} &= E_{L} + D(1-\tau).\\ \end{align} $$

Recordando que $\beta_{U} = \frac{E_{L}}{E_{U}} \beta_{L}$ y sustituyendo nuestra nueva ecuación para $E_{U}$ recién creada nos da

$$ \begin{align} \beta_{U} &= \frac{E_{L}}{E_{U}} \beta_{L} \\ &= \frac{E_{L}}{E_{L} + D(1-\tau)}\beta_{L} \\ \implies \beta_{U} &= \left[\frac{1}{1 + \frac{D}{E}(1-\tau)}\right]\beta_{L}, \\ \end{align} $$

como se requiere. Gracias.

Answer 2

Esta fórmula es un resultado directo del teorema de Modigliani-Miller. Después de buscar un poco, encontré una demostración bastante simple de esto aquí:

https://quantcoyote.com/2017/04/09/modigliani-miller-unlevered-betas/