Para una secundaria de economía/matemáticas interdisciplinarias ensayo voy a utilizar los multiplicadores de Lagrange y la obtención de las fórmulas que encontrar el máximo. Algunos quizá sugiera alguna (utilidad) de las funciones que tiene 3 (4) variables (no importa si se ha constantes). Gracias de antemano!
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Digamos que usted tiene $k$ productos $x_1, x_2, \ldots, x_k$. Deje que $\mathbf{x}$ denota el vector $\mathbf{x} = \begin{bmatrix}x_1 \\ \ldots \\ x_k \end{bmatrix}$.
Algunos caballos de batalla para comenzar:
-
Multivariante de Cobb-Douglas: $u(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^k x_i^{\lambda_i} $.
- Tenga en cuenta que $\max_\mathbf{x} u(\mathbf{x})$ tiene la misma solución que $\max_\mathbf{x} \log u(\mathbf{x})$, porque el logaritmo es una función monótonamente creciente. Por tanto, la maximización de la función de utilidad de $u(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^k \lambda_i \log x_i$ va a dar la misma solución y también se conoce como la Cobb-Douglas.
- Elasticidad constante de sustitución $u(\mathbf{x}) = \left( \sum_i \alpha_i ^\frac{1}{s} x_i ^\frac{s - 1}{s}\derecho)^\frac{s}{s-1}$
Peter Bailey
Puntos
62125
Para empezar tenga en cuenta que hay tres tipos principales de funciones de utilidad/funciones de producción en la economía. para una multi-variable de caso, voy a ilustrar a continuación.
Complementa $$U(\mathbf{X})=\min\{x_i,...,x_n\}$$ Subsitutes $$U(\mathbf{X)}=\sum_{i=1}^{n}a_1x_i$$
donde $a_i$ es una constante mayor que cero (para el normal de los bienes).
Cobb-douglas (como Mateo Gunn ya ha dicho). $$u(\mathbf{X}) = \prod_i^n x_i^{\lambda_i} $$
donde cada $\lambda_i$ es mayor que cero (para el normal de los bienes).
Espero que esto ayude.
Alexandros B
Puntos
131
La palabra "utilidad" entre paréntesis en el cuerpo de su pregunta, así que no estoy seguro de si esto significa que usted prefiere, o que sólo desea la maximización de la utilidad de problemas. De todos modos, aquí es un problema de optimización que no es acerca de la utilidad.
Supongamos que una empresa produce salida $y$ el uso de insumos $x_1$ y $x_2$. La tecnología utilizada es la descrita por el cóncavo de la producción de la función $f(x_1,x_2)$. (Por ejemplo, $\sqrt{x_1x_2}$.) La empresa desea reducir al mínimo sus costos, que es dada a los precios de los insumos $w_1$ y $w_2$ se desea producir $$ y unidades de la forma más barata posible.
El problema de optimización es \begin{align*} \min_{x_1,x_2} \ & w_1x_1 + w_2x_2 \\ \\ \mbox{s.t. } y f(x_1,x_2) = y \\ \\ & x_1,x_2 \geq 0. \end{align*} Suponiendo que la solución es el interior de una solución, que es de $x_1^*, x_2^* > 0$, el de Lagrange-multiplicador de la función de producción de la condición tiene un lugar bonito significado económico. Es el costo marginal de producción.
Si usted insiste en tres o más variables, usted puede ajustar fácilmente el número de entradas, por ejemplo, $f(x_1,x_2,x_3) = \sqrt[4]{x_1x_2x_3}$.
