¿Cuál es la fórmula para calcular la constante de la hipoteca cuando los pagos se realizan al principio del período?

Question

En este caso, la constante hipotecaria (o constante del préstamo o constante de la deuda) es la relación (en mi caso, anual) de pagos constantes al monto original, como se muestra aquí: http://www.double-entry-bookkeeping.com/periodic-payment/how-to-calculate-a-debt-constant/

Supongamos que tenemos una tasa de interés anual del 4.565% y 360 pagos (préstamo a 30 años). En Excel, podemos especificar la siguiente fórmula:

PMT(0.04565/12, 360, -1, 0, 1) * 12

Donde el valor presente es $1, el valor futuro es $0, y Tipo=1 significa que los pagos se realizan al principio del período. El resultado es 6.1034%.

Cuando aplico la fórmula matemática, asume que los pagos se hacen al final del período (¿o estoy equivocado?), entonces donde

Deuda Constante = (Tasa de Interés/12) / (1 - (1 / (1 + Tasa de Interés/12))^n) * 12
              = (0.04565/12) / (1 - (1 / (1 + 0.04565/12))^360) * 12
              = 6.1267%

¿Cómo se ajusta la fórmula para tener en cuenta los pagos realizados al principio del período, ya que el valor real para los propósitos de este cálculo no se conoce? ¿O estoy entendiendo algo mal?

Gracias de antemano.

Answer 1

Respuesta corta

Su fórmula matemática puede ajustarse dividiendo por (1 + Tasa de interés/12), es decir

Constante de deuda =
(0.04565/12)/(1 - (1/(1 + 0.04565/12))^360)*12/(1 + 0.04565/12) =
0.0610344

Respuesta larga

La sintaxis de la fórmula de Excel es

PMT(tasa, nper, pv, [fv], [tipo])

Ref. Función PMT de Excel

El tipo = 1 es para pagos al comienzo del período, por lo que está calculando los pagos para una anualidad vencida.

PMT(0.04565/12, 360, -1, 0, 1) * 12 = 0.0610344

Su fórmula matemática es para una anualidad ordinaria; pagos realizados al final del período.

Información relacionada: Cómo calcular el valor presente y futuro de anualidades

Fórmula para una anualidad vencida (pagos al comienzo del período)

Con capital s, n períodos, tasa periódica r y pago periódico d

s = 1
n = 360
r = 0.04565/12

El capital es igual a la suma de los pagos descontados al valor presente.

 d = (r (1 + r)^(-1 + n) s)/(-1 + (1 + r)^n) = 0.0050862

12 d = 0.0610344

Derivación de la fórmula

Usando el teorema de la sumatoria geométrica

https://es.wikipedia.org/wiki/Series_geométricas#Fórmula

Answer 2

Supongamos que comenzaste con la fórmula de los pagos al comienzo del período y querías saber cómo ajustarla para el pago al final. Bueno, cada pago está acumulando interés durante todo un período. Por lo tanto, tendrías que multiplicar cada pago por el factor de interés de cada período. La tasa de interés durante un período es la tasa de interés anual dividida por el número de períodos por año. Dado que hay 12 períodos cada año, la tasa de interés por período es 0.04565 (el interés dado de forma anual) dividido por 12. La cantidad total es el capital más la tasa de interés multiplicada por el capital:

capital + (tasa de interés)*capital

Factoriza el capital y obtendrás:

capital*(1+tasa de interés)

Así que obtenemos que el factor es 1+tasa de interés = 1+0.04565/12

Ese es el factor por el que debemos multiplicar para pasar de "comienzo del período" a "fin del período", por lo que tenemos que dividir por eso para ir en la otra dirección.