¿Cuánto se paga por el máximo de dos poblaciones?

Question

Estoy tratando de averiguar si estocástico de cálculo es el enfoque correcto para este problema... pero yo sólo vagamente entiendo y estoy tratando de evaluar si tengo que gastar el tiempo de aprendizaje de teoría de la medida etc, etc, para algo que podría ser mucho más trivial.

Voy a hacer algunas simplificaciones aquí (por ejemplo, normal en lugar de la lognormal), así que por favor tengan paciencia conmigo. Sólo estoy tratando de ubicarme.

Digamos que tengo dos poblaciones, X y Y.

Valores de la X es un valor de 100 y el precio está normalmente distribuida con $\sigma_X = 1$ de cada período.

Stock Y vale 99 y el precio está normalmente distribuida con $\sigma_Y = 3.3333$ de cada período.

Las dos poblaciones son el 90% de correlación y la beta es de $0.9 \cdot 3.333/1 = 3$

Entonces, ¿qué si le dije a usted, en un período, te voy a dar valores de la X o la bolsa de valores Y, lo que tiene un mayor valor.

Así que la pregunta es... ¿cuál es el valor esperado de la max de las dos poblaciones?

Puedo, por supuesto, simular este escenario, pero hay una manera de obtener la respuesta de la forma cerrada?

El uso de la descomposición de Cholesky, me simular dos correlaciona aleatorias normales y darles la media y desviación estándar apropiadas.

Yo aproximar el valor de $\max(X,Y) \aprox 100.6$

Answer 1

Considere dos conjuntamente normal de las variables aleatorias $X_1 \sim N(u_1, \sigma_1^2)$ y $X_2 \sim N(u_2, \sigma_2^2)$. Tenga en cuenta que, \begin{align*} \max(X_1, X_2) = X_2 + \max(X_1-X_2, \ 0). \end{align*} Por otra parte, $X_1-X_2$ es una variable aleatoria normal con media $\mu=\mu_1-\mu_2$ y variación \begin{align*} \sigma^2 = \sigma_1^2+\sigma_2^2 - 2 \rho\sigma_1\sigma_2, \end{align*} donde $\rho$ es la correlación. Es decir, \begin{align*} X_1-X_2 = \mu + \sigma \xi, \end{align*} donde $\xi$ es una variable aleatoria normal estándar. Por lo tanto, \begin{align*} E\left(\max((X_1, X_2) \derecho) &= E(X_2) + E\left(\max(\mu + \sigma \xi \ 0)\derecho)\\ &=\mu_2 + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\max(\mu + \sigma x, \ 0)\,e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx\\ &=\mu_2 + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(\mu + \sigma x) \,\mathbb{I}_{\mu + \sigma x\geq 0}\,e^{-\frac{x^2}{2}}\, dx\\ &=\mu_2 + \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\frac{\mu}{\sigma}}^{\infty}(\mu + \sigma x)\,e^{-\frac{x^2}{2}} dx\\ &=\mu_2 + \mu \N\Big(\frac{\mu}{\sigma}\Big) +\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{\mu^2}{2\sigma^2}}, \end{align*} donde $N$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria normal estándar.

Answer 2

Esto llevó a un 5 segundo de búsqueda de Google: https://stats.stackexchange.com/questions/139072/distribution-of-the-maximum-of-two-correlated-normal-variables

Todo lo que realmente estás buscando es simplemente para calcular $E[\max\{X, Y\}]$, donde $X, Y$ son dos correlaciona normal de las variables aleatorias. El enlace que dice el pdf de la variable aleatoria $W = \max\{X,Y\}$. Desde allí, usted puede integrar y calcular $E[W]$ --- aunque lo más probable es que sólo numéricamente integrar en este caso.

Comentario: Además, si se me permite añadir, no hay nada "estocástico de cálculo" en el problema (al menos la forma en que decirlo). Y también, teoría de la medida también es innecesaria para este problema.

Answer 3

Me gustaría recomendar el siguiente Margrabe de la fórmula, que es una forma cerrada de Black-Scholes tipo de fórmula para la valoración de opción call europea, cuya rentabilidad en el tiempo T = max[0, S2(T) - S1(T)]. Si usted crear una cartera de S1 y una opción call, su rentabilidad será mayor de los dos precios de las acciones - que es lo que quieres. Además esto tiene más general de la asunción de los precios de registro-normalmente distribuida.

Margrabe la opción de la llamada fórmula: C = S2.N(d1) - S1.k.N(d2)

Para d1, d2 y otros detalles, por favor consulte el documento: http://www.stat.nus.edu.sg/~stalimtw/MFE5010/PDF/margrabe1978.pdf