Cálculos de bonos de cupón cero

Question

Me dan la siguiente dinámica de tipos de interés a futuro $df(t,u)=\frac{\partial}{\partial u}(\frac{\sigma^2}{2})dt-\frac{\partial}{\partial u}\sigma dW$ y quiere calcular la dinámica del ZCB $p$ a través de los cálculos siguientes. La segunda igualdad es claramente el lema de Ito, pero las igualdades tres y cuatro me desconciertan por completo.

Answer 1

Las anotaciones en la instantánea son bastante desordenadas. Yo prefiero proceder de la siguiente manera.

Dejemos que $X_t = -\int_t^T f(t, u)du$ . Tenga en cuenta que \begin {align*} f(t, u) - f(0, u) = \frac { \partial }{ \partial u} \left ( \int_0 ^t \frac { \sigma ^2(s, u)}{2} ds - \int_0 ^t \sigma (s, u) d W_s \right ). \end {align*} Entonces \begin {align*} r_t = f(t, t) = f(0, t) + \frac { \partial }{ \partial u} \left ( \int_0 ^t \frac { \sigma ^2(s, u)}{2} ds - \int_0 ^t \sigma (s, u) d W_s \right ) \Big |_{u=t}. \end {align*} Además, \begin {align*} \int_t ^T f(t, u)du - \int_t ^T f(0, u)du &= \left ( \int_0 ^t \frac { \sigma ^2(s, T)}{2} ds - \int_0 ^t \sigma (s, T) d W_s \right ) \\ & \qquad - \left ( \int_0 ^t \frac { \sigma ^2(s, t)}{2} ds - \int_0 ^t \sigma (s, t) d W_s \right ). \end {align*} Eso es, \begin {align*} X_t &= - \int_t ^T f(0, u)du + \left ( \int_0 ^t \frac { \sigma ^2(s, t)}{2} ds - \int_0 ^t \sigma (s, t) d W_s \right ) \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad - \left ( \int_0 ^t \frac { \sigma ^2(s, T)}{2} ds - \int_0 ^t \sigma (s, T) d W_s \right ). \end {align*} En consecuencia, \begin {align*} dX_t &= f(0, t) dt + \frac { \sigma ^2(t, t)}{2} dt - \sigma (t, t) d W_t \\ & \qquad + \frac { \partial }{ \partial u} \left ( \int_0 ^t \frac { \sigma ^2(s, u)}{2} ds - \int_0 ^t \sigma (s, u) d W_s \right ) \Big |_{u=t} dt - \frac { \sigma ^2(t, T)}{2} dt + \sigma (t, T) d W_t \\ &= r_t dt - \frac { \sigma ^2(t, T)}{2} dt + \sigma (t, T) d W_t. \end {align*} Por lo tanto, \begin {align*} dP(t, T) &= d \big (e^{X_t} \big ) \\ &=P(t, T) \Big (dX_t + \frac {1}{2} d \langle X, X \rangle_t \Big ) \\ &=P(t, T) \big (r_t dt + \sigma (t, T) d W_t \big ). \end {align*}