¿Cómo demostrar que la función de producción es cóncava en K y L pero no estrictamente?

Question

Supongamos que tenemos una función de producción con rendimientos constantes a escala. Denotémosla por $F(A,K,L)$ donde $A$ es la tecnología, $K$ la capital y $L$ Trabajo. Supongamos además que la primera derivada parcial de $L,K$ son ambos positivos y el segundo parcial negativo. Cómo demostrar que la función de producción es cóncava en $K$ y $L$ ¿pero no estrictamente?

Este problema es de la Introducción al crecimiento económico moderno de Acemoglu. No entiendo muy bien qué significa decir que la función es cóncava en $K$ y $L$ . ¿Necesito demostrar que $F(K,L)$ (tratando A como constante) es cóncavo? o muestro $F(K)$ y $F(L)$ son cóncavos (tratando L,A o K,A como constantes)?

Si es esto último, el problema parece trivial por la prueba de la segunda derivada.

Answer 1

Así que queremos que el hessiano sea NSD, por lo que necesitamos que los PMs se alternen débilmente.

$H=\begin{bmatrix} F_{kk} & F_{kl} \\ F_{kl} & F_{ll} \end{bmatrix}NSD \iff~F_{kk},F_{ll}\leq0~\&F_{kk}F_{ll}-F_{kl}^2\geq0$

Se nos da que $F_{kk},F_{ll}<0$ así que tenemos que averiguar los parciales cruzados.

Los rendimientos constantes a escala implican que tenemos una función homogénea de grado 1:

$F(K,L)=KF_k+LF_l \implies F_l=KF_{kl}+LF_{ll}+F_l~~ \&~~ F_k=LF_{kl}+KF_{kk}+F_k$

Ahora podemos sustituir estas ecuaciones en la expresión del 2º PM:

$\big(-\frac{L}{K}F_{kl}\big)\big(-\frac{K}{L}F_{kl}\big)-F_{kl}^2=0~$ y hemos terminado.